Calcule a derivada direcional da função dada no ponto e direção dados.
em
ao longo da curva
e na direção de
crescente. Calcule também a derivada direcional máxima no ponto dado.
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
no ponto
ao longo da curva
no sentido de
crescente, e também a derivada direcional máxima nesse ponto. Para isso vamos usar o gradiente de
, o vetor tangente à curva e a definição de derivada direcional.
Passo 2
Calculemos primeiro o gradiente de
:
No ponto
temos
.
Passo 3
A curva
pode ser parametrizada por
. O vetor tangente é
de modo que em
ele vale
. Para aplicar a derivada direcional precisamos do vetor unitário
Passo 4
A derivada direcional de
na direção
é o produto escalar
:
Passo 5
A derivada direcional máxima em
é o módulo do gradiente:
Resposta
Derivada direcional ao longo de
no sentido de
crescente:
Derivada direcional máxima em
: