Calcule a derivada direcional da função dada no ponto e direção dados.
f(x, y)=2 x-3 y em (1,1) ao longo da curva y=x^2 e na direção de x crescente. Calcule também a derivada direcional máxima no ponto dado.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=2x-3y no ponto (1,1) ao longo da curva y=x^2 no sentido de x crescente, e também a derivada direcional máxima nesse ponto. Para isso vamos usar o gradiente de f, o vetor tangente à curva e a definição de derivada direcional.

Passo 2

Calculemos primeiro o gradiente de f:
nabla f(x,y) = l(partialpartial x(2x-3y),,partialpartial y(2x-3y)r) = (2,,-3)
No ponto (1,1) temos nabla f(1,1)=(2,-3).

Passo 3

A curva y=x^2 pode ser parametrizada por r(x)=(x,x^2). O vetor tangente é
r'(x)=(1,2x),
de modo que em x=1 ele vale (1,2). Para aplicar a derivada direcional precisamos do vetor unitário
u =1raiz1^2+2^2,(1,2) =l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5r)

Passo 4

A derivada direcional de f na direção u é o produto escalar nabla f(1,1)cdot u:
D uf(1,1) = (2,-3)cdotl(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5r) =2cdot1 + (-3)cdot2raiz5 =2-6raiz5 =-4raiz5

Passo 5

A derivada direcional máxima em (1,1) é o módulo do gradiente:
max| v|=1D vf(1,1) =|nabla f(1,1)| =raiz2^2+(-3)^2 =raiz13

Resposta

Derivada direcional ao longo de y=x^2 no sentido de x crescente: -4raiz5
Derivada direcional máxima em (1,1): raiz13

Exercícios relacionados