Determine o intervalo no qual a curva y=integral0^x 11+t+t^2 d t é côncava para baixo.

Passo 1

O enunciado define
y(x)=integral0^x11+t+t^2,dt
e pede onde essa curva é côncava para baixo.
O conteúdo usado será o Teorema Fundamental do Cálculo para obter y' e, em seguida, derivar de novo para achar y'' e determinar onde y''<0.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de y é
y'(x)=11+x+x^2

Passo 3

Para achar a concavidade, calculamos
y''(x) =ddxl((1+x+x^2)^-1r) =-(1+2x),(1+x+x^2)^-2

Passo 4

A condição de concavidade para baixo é y''(x)<0. Como (1+x+x^2)^2>0 para todo x, basta exigir
-(1+2x)<0 Long<=ftrightarrow 1+2x>0 Long<=ftrightarrow x>-12

Resposta

A curva é côncava para baixo no intervalo l(-tfrac12,+inftyr).

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