Calcule a derivada direcional da função dada, no ponto indicado, segundo a direção do versor \vec{u} do vetor \vec{v}.
f(x, y)=x^{2}-2 x y+y^{2} ; \quad(a, b)=(1,-1) ; \quad \vec{v}=(3,-4)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=x^{2}-2xy+y^{2}
no ponto (a,b)=(1,-1) na direção do versor \vec{u} associado a \vec{v}=(3,-4).
Para isso vamos precisar de duas coisas:
  1. O versor \vec{u}=\vec{v}/\|\vec{v}\|.
  2. O gradiente de f, \nabla f, e então avaliar \nabla f(1,-1) e fazer o produto escalar com \vec{u}.

Passo 2

Calcular o módulo de \vec{v} e o versor \vec{u}.
\|\vec{v}\|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=5,
portanto
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\biggl(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\biggr).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f.
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-2y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-2x+2y.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,-1).
\frac{\partial f}{\partial x}(1,-1)=2\cdot1-2\cdot(-1)=4,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,-1)=-2\cdot1+2\cdot(-1)=-4.
Logo
\nabla f(1,-1)=(4,\,-4).

Passo 5

Calcular a derivada direcional como produto escalar \nabla f(1,-1)\cdot\vec{u}:
D_{\vec{u}}f(1,-1) =(4,\,-4)\cdot\Bigl(\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\Bigr) =4\cdot\tfrac{3}{5}+(-4)\cdot\bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr) =\frac{12}{5}+\frac{16}{5} =\frac{28}{5}.

Resposta

A derivada direcional de f no ponto (1,-1) segundo a direção de \vec{v} é \displaystyle \frac{28}{5}.

Exercícios relacionados