Calcule, utilizando a definição formal via limite, a derivada direcional da função f no ponto P, na direção do vetor \mathbf{v} dado.
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \quad P(3,4), \quad \mathbf{v}=(-5,12)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} no ponto P=(3,4) na direção do vetor \mathbf{v}=(-5,12). Vamos usar a definição via limite
D_{\mathbf{u}}f(P)=\lim_{h\to0}\frac{f\bigl(P+h\,\mathbf{u}\bigr)-f(P)}{h},
onde \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de \mathbf{v}.

Passo 2

Primeiro encontramos a norma de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{(-5)^{2}+12^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.

Passo 3

O vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\biggl(-\frac{5}{13},\,\frac{12}{13}\biggr).

Passo 4

Definimos o quociente incremental
\frac{f\bigl(P+h\,\mathbf{u}\bigr)-f(P)}{h} =\frac{\sqrt{\bigl(3-\tfrac{5h}{13}\bigr)^{2}+\bigl(4+\tfrac{12h}{13}\bigr)^{2}}-5}{h}.

Passo 5

Dentro da raiz temos
\bigl(3-\tfrac{5h}{13}\bigr)^{2}+\bigl(4+\tfrac{12h}{13}\bigr)^{2} =9- \tfrac{30h}{13}+\tfrac{25h^{2}}{169}+16+\tfrac{96h}{13}+\tfrac{144h^{2}}{169} =25+\tfrac{66h}{13}+h^{2}.
Logo o quociente fica
\frac{\sqrt{25+\tfrac{66h}{13}+h^{2}}-5}{h} =\frac{\bigl(\sqrt{25+\tfrac{66h}{13}+h^{2}}-5\bigr)\bigl(\sqrt{25+\tfrac{66h}{13}+h^{2}}+5\bigr)}{h\bigl(\sqrt{25+\tfrac{66h}{13}+h^{2}}+5\bigr)} =\frac{\tfrac{66h}{13}+h^{2}}{h\bigl(\sqrt{25+\tfrac{66h}{13}+h^{2}}+5\bigr)} =\frac{\tfrac{66}{13}+h}{\sqrt{25+\tfrac{66h}{13}+h^{2}}+5}.

Passo 6

Fazendo h\to0 no numerador e denominador:
\lim_{h\to0}\frac{\tfrac{66}{13}+h}{\sqrt{25+\tfrac{66h}{13}+h^{2}}+5} =\frac{\tfrac{66}{13}}{5+5} =\frac{66}{13\cdot 10} =\frac{66}{130} =\frac{33}{65}.

Resposta

A derivada direcional de f em P na direção de \mathbf{v} é \displaystyle \frac{33}{65}.

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