Calcule a derivada direcional da função dada, no ponto indicado, segundo a direção do versor \vec{u} do vetor \vec{v}.
f(x, y)=\operatorname{sen} 2 x \cos 2 y ;(a, b)=(\pi / 6,-5 \pi / 6) ; \quad \vec{v}= (1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=\operatorname{sen} 2x\;\cos 2y
no ponto \bigl(a,b\bigr)=\bigl(\tfrac\pi6,-\tfrac{5\pi}6\bigr) segundo o versor \vec u obtido a partir de \vec v=(1,-1). Vamos usar a definição
D_{\vec u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\vec u.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Como
f(x,y)=\operatorname{sen}(2x)\cos(2y),
temos
\frac{\partial f}{\partial x} =2\cos(2x)\cos(2y), \quad \frac{\partial f}{\partial y} =-2\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen}(2y).
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\nabla f(x,y) =\bigl(2\cos(2x)\cos(2y),\;-2\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen}(2y)\bigr).

Passo 3

Avaliar \nabla f em \bigl(\tfrac\pi6,-\tfrac{5\pi}6\bigr). Primeiro calculamos as funções trigonométricas:
2x=\frac{\pi}{3}\implies\cos(2x)=\tfrac12,\;\operatorname{sen}(2x)=\tfrac{\sqrt3}{2},
2y=-\tfrac{5\pi}{3}\implies\cos(2y)=\cos\bigl(\tfrac{5\pi}{3}\bigr)=\tfrac12, \;\operatorname{sen}(2y)=\operatorname{sen}\bigl(-\tfrac{5\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt3}{2}.
Substituindo em \nabla f:
\nabla f\!\Bigl(\tfrac\pi6,-\tfrac{5\pi}6\Bigr) =\Bigl(2\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12,\;-2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) =\Bigl(\tfrac12,\;-\,\tfrac32\Bigr).

Passo 4

Obter o versor \vec u de \vec v=(1,-1). O módulo de \vec v é
\|\vec v\|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2,
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\vec u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\Bigl(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\Bigr).
Agora a derivada direcional é
D_{\vec u}f(a,b) =\nabla f(a,b)\cdot\vec u =\Bigl(\tfrac12,\;-\,\tfrac32\Bigr)\cdot\Bigl(\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2}\Bigr).
Fazendo o produto escalar:
D_{\vec u}f(a,b) =\frac12\cdot\frac1{\sqrt2} + \bigl(-\tfrac32\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac1{\sqrt2}\bigr) =\frac{1/2+3/2}{\sqrt2} =\frac{2}{\sqrt2} =\sqrt2.

Resposta

\sqrt2

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