Calcule a derivada direcional da função dada, no ponto indicado, segundo a direção do versor
do vetor
. Isto é,
.
;
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
no ponto
segundo a direção do versor
, onde foi dado
. A função fornecida é
Informações importantes extraídas do enunciado:
A pergunta concreta: calcular a derivada direcional de
em
na direção de
.
Passo 2
O que é a derivada direcional e como calculamos? Vou explicar com calma. A derivada direcional de uma função
de várias variáveis no ponto
na direção do versor
é o quanto
varia por unidade de deslocamento nessa direção. A fórmula prática e muito usada é
onde
é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais:
Explicando cada pedacinho:
-
é a derivada de em relação a mantendo fixos. - O produto escalar
é só somar as componentes multiplicadas: .
Portanto, para resolver precisamos: (i) calcular as derivadas parciais de, (ii) avaliar o gradiente em , (iii) obter o versor a partir de e (iv) fazer o produto escalar.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Vou derivar termo a termo, explicando:
A função é .
A função é
Derivando em relação a
:
- Para
: derivate de em é , e é tratado como constante, então contribui . - Para
: derivada de em é (cadeia: derivada de é ), multiplicando por dá .
Assim
Derivando em relação a
:
- Para
: derivada de em é , então . - Para
: derivada de é , multiplicando por dá .
Logo
Derivando em relação a
:
- Para
: derivada de é , multiplicando por dá . - Para
: derivada de em é , multiplicando por dá .
Portanto
Passo 4
Avaliar o gradiente em
. Substituímos
,
,
. Lembre que
,
,
.
Calcule cada componente:
Calcule cada componente:
Logo o gradiente em
é
Passo 5
Obter o versor
a partir de
. Primeiro a norma:
Portanto
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar:
Fazendo o produto componente a componente:
Dividindo por
(porque
tem o fator
):