Calcule a derivada direcional da função dada, no ponto indicado, segundo a direção do versor vec{u} do vetor vec{v}. Isto é, vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
f(x, y, z)=e^{x+y} \cos z+e^{z-x} \operatorname{sen} y ;(a, b, c)=(0,0,0); \vec{v}=(1,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f no ponto (a,b,c)=(0,0,0) segundo a direção do versor \vec{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}, onde foi dado \vec{v}=(1,-1,2). A função fornecida é
f(x,y,z)=e^{x+y}\cos z + e^{z-x}\operatorname{sen} y.
Informações importantes extraídas do enunciado:
(a,b,c)=(0,0,0),\qquad \vec{v}=(1,-1,2),\qquad \vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
A pergunta concreta: calcular a derivada direcional de f em (0,0,0) na direção de \vec{u}.

Passo 2

O que é a derivada direcional e como calculamos? Vou explicar com calma. A derivada direcional de uma função f de várias variáveis no ponto (x_0,y_0,z_0) na direção do versor \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) é o quanto f varia por unidade de deslocamento nessa direção. A fórmula prática e muito usada é
D_{\vec{u}}f(x_0,y_0,z_0)=\nabla f(x_0,y_0,z_0)\cdot \vec{u},
onde \nabla f é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Explicando cada pedacinho:
  • \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x mantendo y,z fixos.
  • O produto escalar \nabla f\cdot\vec{u} é só somar as componentes multiplicadas: \nabla f\cdot\vec{u}= (\partial_x f)u_1+(\partial_y f)u_2+(\partial_z f)u_3.
    Portanto, para resolver precisamos: (i) calcular as derivadas parciais de f, (ii) avaliar o gradiente em (0,0,0), (iii) obter o versor \vec{u} a partir de \vec{v} e (iv) fazer o produto escalar.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Vou derivar termo a termo, explicando:
A função é f(x,y,z)=e^{x+y}\cos z + e^{z-x}\operatorname{sen} y.
Derivando em relação a x:
  • Para e^{x+y}\cos z: derivate de e^{x+y} em x é e^{x+y}, e \cos z é tratado como constante, então contribui e^{x+y}\cos z.
  • Para e^{z-x}\operatorname{sen} y: derivada de e^{z-x} em x é -e^{z-x} (cadeia: derivada de -x é -1), multiplicando por \operatorname{sen} y -e^{z-x}\operatorname{sen} y.
    Assim
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x+y}\cos z - e^{z-x}\operatorname{sen} y.
Derivando em relação a y:
  • Para e^{x+y}\cos z: derivada de e^{x+y} em y é e^{x+y}, então e^{x+y}\cos z.
  • Para e^{z-x}\operatorname{sen} y: derivada de \operatorname{sen} y é \cos y, multiplicando por e^{z-x} e^{z-x}\cos y.
    Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x+y}\cos z + e^{z-x}\cos y.
Derivando em relação a z:
  • Para e^{x+y}\cos z: derivada de \cos z é -\operatorname{sen} z, multiplicando por e^{x+y} -e^{x+y}\operatorname{sen} z.
  • Para e^{z-x}\operatorname{sen} y: derivada de e^{z-x} em z é e^{z-x}, multiplicando por \operatorname{sen} y e^{z-x}\operatorname{sen} y.
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial z}=-e^{x+y}\operatorname{sen} z + e^{z-x}\operatorname{sen} y.

Passo 4

Avaliar o gradiente em (0,0,0). Substituímos x=0, y=0, z=0. Lembre que e^0=1, \cos 0=1, \operatorname{sen} 0=0.
Calcule cada componente:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0,0)=e^{0+0}\cos 0 - e^{0-0}\operatorname{sen} 0 = 1\cdot 1 - 1\cdot 0 = 1.
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0,0)=e^{0+0}\cos 0 + e^{0-0}\cos 0 = 1\cdot 1 + 1\cdot 1 = 2.
\frac{\partial f}{\partial z}(0,0,0)=-e^{0+0}\operatorname{sen} 0 + e^{0-0}\operatorname{sen} 0 = -1\cdot 0 + 1\cdot 0 = 0.
Logo o gradiente em (0,0,0) é
\nabla f(0,0,0)=(1,2,0).

Passo 5

Obter o versor \vec{u} a partir de \vec{v}=(1,-1,2). Primeiro a norma:
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.
Portanto
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2).

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar:
D_{\vec{u}}f(0,0,0)=\nabla f(0,0,0)\cdot \vec{u}=(1,2,0)\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2).
Fazendo o produto componente a componente:
(1,2,0)\cdot(1,-1,2)=1\cdot 1 + 2\cdot(-1) + 0\cdot 2 = 1-2+0 = -1.
Dividindo por \sqrt{6} (porque \vec{u} tem o fator \tfrac{1}{\sqrt{6}}):
D_{\vec{u}}f(0,0,0)=-\frac{1}{\sqrt{6}}.

Resposta

-\dfrac{1}{\sqrt{6}}

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