Seja f(x, y, z)=x^{2}-y^{2}+z
Vamos calcular:
a. \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(2,2,1) ,onde \vec{u} é o versor do vetor \vec{v}=(3,4,12)
b.a direção de menor crescimento de f a partir do ponto (2,2,1) e a derivada de f nesta direção.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas a partir da função \\ f(x,y,z)=x^{2}-y^{2}+z\ no ponto (2,2,1):
  • (a) Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(2,2,1), onde \vec{u} é o versor (vetor unidade) do vetor \vec{v}=(3,4,12).
  • (b) Encontrar a direção de menor crescimento (ou seja, direção de máximo decrescimento) de f a partir do ponto (2,2,1) e calcular a derivada de f nessa direção.
Informações dadas e importantes:
  • A função é \\ f(x,y,z)=x^{2}-y^{2}+z.
  • O ponto onde vamos avaliar é (2,2,1).
  • O vetor cuja direção devemos normalizar é \vec{v}=(3,4,12); \vec{u} será o versor de \vec{v}.

Passo 2

Vamos recordar as ferramentas que precisamos (com explicação didática):
  1. Gradiente. Para uma função de três variáveis \\ f(x,y,z)\, o gradiente \nabla f é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y},\\ \frac{\partial f}{\partial z}\right).
Intuição rápida: \nabla f indica a direção de maior crescimento de f, e seu comprimento \|\nabla f\| é a taxa de crescimento máxima naquele ponto.
  1. Derivada direcional. A derivada de f na direção do vetor unitário \vec{u} é o produto escalar entre o gradiente e \vec{u}:
D_{\vec{u}}f(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)\cdot \vec{u}.
Aqui, \vec{u} tem que ser unitário ( \|\vec{u}\|=1). Produto escalar em \mathbb{R}^{3}: (a_1,a_2,a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  1. Direção de menor crescimento. É exatamente a direção oposta ao gradiente, ou seja, -\nabla f. A derivada direcional nessa direção unitária terá valor -\|\nabla f\| (o valor mínimo possível das derivadas direcionais unitárias).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de \\ f(x,y,z)=x^{2}-y^{2}+z\:
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x.
Explicação: derivada de x^{2} é 2x; os outros termos não dependem de x.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=-2y.
Explicação: derivada de -y^{2} é -2y.
  • Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z}=1.
Explicação: derivada de z em relação a z é 1.
Portanto o gradiente geral é
\nabla f(x,y,z)=(2x,\,-2y,\;1).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (2,2,1):
\nabla f(2,2,1)=(2\cdot 2,\\\ -2\cdot 2,\\\ 1)=(4,\,-4,\\\ 1).
Comentário: esse vetor indica a direção de maior crescimento de f no ponto dado; seu comprimento ainda será útil mais adiante.

Passo 5

Determinar o versor \vec{u} do vetor \vec{v}=(3,4,12).
  1. Calcular a norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}+12^{2}}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13.
  1. O versor é \displaystyle \vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{3}{13},\frac{4}{13},\frac{12}{13}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional pedida em (a): \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(2,2,1)=\nabla f(2,2,1)\cdot \vec{u}.
Fazendo o produto escalar:
\nabla f(2,2,1)\cdot \vec{u}=(4,\,-4,\\\ 1)\cdot\left(\frac{3}{13},\frac{4}{13},\frac{12}{13}\right) =\frac{4\cdot 3 + (-4)\cdot 4 + 1\cdot 12}{13}.
Calculemos o numerador:
4\cdot 3 =12,\qquad (-4)\cdot 4=-16,\qquad 1\cdot 12=12.
Somando: 12-16+12=8. Assim
\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(2,2,1)=\frac{8}{13}.
Interpretação rápida: indo na direção de \vec{v} (normalizada), f aumenta à taxa \tfrac{8}{13} por unidade de deslocamento.

Passo 7

Agora a parte (b): direção de menor crescimento e derivada nessa direção.
  1. A direção de menor crescimento é -\nabla f(2,2,1). Temos \\\ -\nabla f(2,2,1)=(-4,4,-1).
  2. Normalizar essa direção para obter o versor dessa direção:
    Primeiro a norma do gradiente (no ponto):
\|\nabla f(2,2,1)\|=\sqrt{4^{2}+(-4)^{2}+1^{2}}=\sqrt{16+16+1}=\sqrt{33}.
Então o versor na direção de menor crescimento é
\displaystyle \vec{u}_{\text{dec}}=\frac{-\nabla f(2,2,1)}{\|\nabla f(2,2,1)\|}=\frac{(-4,4,-1)}{\sqrt{33}}.
  1. Derivada de f nessa direção: como expliquei, se \vec{u}_{\text{dec}}=-\nabla f/\|\nabla f\|, então
D_{\vec{u}_{\text{dec}}}f(2,2,1)=\nabla f(2,2,1)\cdot \vec{u}_{\text{dec}}=-\|\nabla f(2,2,1)\|=-\sqrt{33}.
Também podemos verificar calculando o produto escalar explicitamente:
(4,-4,1)\cdot\frac{(-4,4,-1)}{\sqrt{33}}=\frac{-16-16-1}{\sqrt{33}}=\frac{-33}{\sqrt{33}}=-\sqrt{33}.
Interpretação: -\sqrt{33} é a taxa máxima de diminuição de f por unidade de deslocamento; ocorre na direção \frac{(-4,4,-1)}{\sqrt{33}}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{8}{13}
(b) Direção de menor crescimento: \displaystyle \frac{(-4,4,-1)}{\sqrt{33}} ; derivada nessa direção: \displaystyle -\sqrt{33}

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