Seja
.
Vamos calcular:
a.
,onde
é o versor do vetor
;
b.a direção de menor crescimento de
a partir do ponto
e a derivada de
nesta direção.
Vamos calcular:
a.
b.a direção de menor crescimento de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas a partir da função
no ponto
:
- (a) Calcular
, onde é o versor (vetor unidade) do vetor . - (b) Encontrar a direção de menor crescimento (ou seja, direção de máximo decrescimento) de
a partir do ponto e calcular a derivada de nessa direção.
Informações dadas e importantes:
- A função é
. - O ponto onde vamos avaliar é
. - O vetor cuja direção devemos normalizar é
; será o versor de .
Passo 2
Vamos recordar as ferramentas que precisamos (com explicação didática):
- Gradiente. Para uma função de três variáveis
, o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Intuição rápida:
indica a direção de maior crescimento de
, e seu comprimento
é a taxa de crescimento máxima naquele ponto.
- Derivada direcional. A derivada de
na direção do vetor unitário é o produto escalar entre o gradiente e :
Aqui,
tem que ser unitário (
). Produto escalar em
:
.
- Direção de menor crescimento. É exatamente a direção oposta ao gradiente, ou seja,
. A derivada direcional nessa direção unitária terá valor (o valor mínimo possível das derivadas direcionais unitárias).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial em relação a
:
Explicação: derivada de
é
; os outros termos não dependem de
.
- Derivada parcial em relação a
:
Explicação: derivada de
é
.
- Derivada parcial em relação a
:
Explicação: derivada de
em relação a
é
.
Portanto o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
:
Comentário: esse vetor indica a direção de maior crescimento de
no ponto dado; seu comprimento ainda será útil mais adiante.
Passo 5
Determinar o versor
do vetor
.
- Calcular a norma de
:
- O versor é
Passo 6
Calcular a derivada direcional pedida em (a):
.
Fazendo o produto escalar:
Calculemos o numerador:
Somando:
. Assim
Interpretação rápida: indo na direção de
(normalizada),
aumenta à taxa
por unidade de deslocamento.
Passo 7
Agora a parte (b): direção de menor crescimento e derivada nessa direção.
-
A direção de menor crescimento é
. Temos . -
Normalizar essa direção para obter o versor dessa direção:
Primeiro a norma do gradiente (no ponto):
Então o versor na direção de menor crescimento é
- Derivada de
nessa direção: como expliquei, se , então
Também podemos verificar calculando o produto escalar explicitamente:
Interpretação:
é a taxa máxima de diminuição de
por unidade de deslocamento; ocorre na direção
.
Resposta
(a)
(b) Direção de menor crescimento:
; derivada nessa direção: