A temperatura do ar em pontos do espaço é dada pela função
. Uma abelhinha se encontra na posição
e deseja esfriar-se o mais rápido possível. Em que direção ela deve voar?
Passo 1
O enunciado dá a temperatura do ar por uma função e pede em que direção a abelhinha deve voar para esfriar-se o mais rápido possível. Dados e pedido explicitados:
- Função temperatura:
. - Posição da abelhinha:
. - Pergunta: “Em que direção ela deve voar?” — ou seja, qual vetor-direção (normalmente unitário) indica o sentido de maior diminuição instantânea da temperatura naquele ponto.
Passo 2
Conceito-chave que vou usar (explicação didática): quando temos uma função de várias variáveis
, a variação instantânea de
quando nos movemos numa direção unitária
é dada pela derivada direcional
. A fórmula é
onde
é o gradiente de
no ponto
e
é o produto escalar. Explicando:
é um vetor que contém as derivadas parciais e aponta na direção de maior aumento de
. O produto escalar com
mede quanto da variação do gradiente ocorre na direção
.
Passo 3
Por que o negativo do gradiente dá a direção de maior queda? Uso a desigualdade de Cauchy–Schwarz (explicada de forma simples): para vetores
e
com
,
O maior valor de
ocorre quando
está na mesma direção de
; o menor valor (mais negativo) ocorre quando
está exatamente na direção oposta de
, e esse mínimo vale
. Aplicando
, concluímos que a derivada direcional é mínima (ou seja, a função diminui mais rapidamente) quando
é o vetor unitário na direção de
. Em palavras: para esfriar rápido, vá na direção oposta ao gradiente.
Passo 4
Calcular o gradiente geral de
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Derivando cada componente:
-
porque . -
porque . -
porque .
Portanto,
Passo 5
Avaliar o gradiente no ponto dado
. Substituo
,
,
em
:
Passo 6
Identificar a direção de maior diminuição: é
. Calculo esse vetor:
Isso já dá o sentido: mover-se na direção que diminui
e
e aumenta
(porque componentes negativas em
e
e positiva em
) produzirá a maior taxa instantânea de queda da temperatura.
Passo 7
Normalizar para obter um vetor unitário (normalmente desejado quando perguntam “direção”): primeiro o comprimento (norma) de
é
Divido o vetor pela norma para obter o vetor unitário:
Passo 8
Interpretação final e incentivo rápido: então a abelhinha deve voar exatamente na direção do vetor
para esfriar-se o mais rápido possível naquele instante. Se preferir, qualquer múltiplo não-nulo de
indica a mesma direção, mas o vetor unitário acima é padrão para expressar “a direção” sem escolher escala. Você já tem a ideia central: calcule o gradiente, avalie no ponto e vá no negativo.