A temperatura do ar em pontos do espaço é dada pela função f(x, y, z)=28+x^{2}-y^{2}+z^{2}. Uma abelhinha se encontra na posição (1,2,1) e deseja esfriar-se o mais rápido possível. Em que direção ela deve voar?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura do ar por uma função e pede em que direção a abelhinha deve voar para esfriar-se o mais rápido possível. Dados e pedido explicitados:
  • Função temperatura: f(x,y,z)=28+x^{2}-y^{2}+z^{2}.
  • Posição da abelhinha: (1,2,1).
  • Pergunta: “Em que direção ela deve voar?” — ou seja, qual vetor-direção (normalmente unitário) indica o sentido de maior diminuição instantânea da temperatura naquele ponto.

Passo 2

Conceito-chave que vou usar (explicação didática): quando temos uma função de várias variáveis f(x,y,z), a variação instantânea de f quando nos movemos numa direção unitária \mathbf{u} é dada pela derivada direcional D_{\mathbf{u}}f. A fórmula é
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{p})=\nabla f(\mathbf{p})\cdot \mathbf{u},
onde \nabla f(\mathbf{p}) é o gradiente de f no ponto \mathbf{p} e \cdot é o produto escalar. Explicando: \nabla f(\mathbf{p}) é um vetor que contém as derivadas parciais e aponta na direção de maior aumento de f. O produto escalar com \mathbf{u} mede quanto da variação do gradiente ocorre na direção \mathbf{u}.

Passo 3

Por que o negativo do gradiente dá a direção de maior queda? Uso a desigualdade de Cauchy–Schwarz (explicada de forma simples): para vetores \mathbf{a} e \mathbf{u} com \|\mathbf{u}\|=1,
\mathbf{a}\cdot\mathbf{u}\le \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{u}\|=\|\mathbf{a}\|.
O maior valor de \mathbf{a}\cdot\mathbf{u} ocorre quando \mathbf{u} está na mesma direção de \mathbf{a}; o menor valor (mais negativo) ocorre quando \mathbf{u} está exatamente na direção oposta de \mathbf{a}, e esse mínimo vale -\|\mathbf{a}\|. Aplicando \mathbf{a}=\nabla f(\mathbf{p}), concluímos que a derivada direcional é mínima (ou seja, a função diminui mais rapidamente) quando \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de -\nabla f(\mathbf{p}). Em palavras: para esfriar rápido, vá na direção oposta ao gradiente.

Passo 4

Calcular o gradiente geral de f. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Derivando cada componente:
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x porque \frac{d}{dx}(x^2)=2x.
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-2y porque \frac{d}{dy}(-y^2)=-2y.
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=2z porque \frac{d}{dz}(z^2)=2z.
Portanto,
\nabla f(x,y,z)=(2x,\,-2y,\,2z).

Passo 5

Avaliar o gradiente no ponto dado (1,2,1). Substituo x=1, y=2, z=1 em \nabla f:
\nabla f(1,2,1)=(2\cdot1,\,-2\cdot2,\,2\cdot1)=(2,\,-4,\,2).

Passo 6

Identificar a direção de maior diminuição: é -\nabla f(1,2,1). Calculo esse vetor:
-\nabla f(1,2,1)=(-2,\,4,\,-2).
Isso já dá o sentido: mover-se na direção que diminui x e z e aumenta y (porque componentes negativas em x e z e positiva em y) produzirá a maior taxa instantânea de queda da temperatura.

Passo 7

Normalizar para obter um vetor unitário (normalmente desejado quando perguntam “direção”): primeiro o comprimento (norma) de -\nabla f(1,2,1) é
\|\,-\nabla f(1,2,1)\,\|=\sqrt{(-2)^{2}+4^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}.
Divido o vetor pela norma para obter o vetor unitário:
\mathbf{u}=\frac{(-2,\,4,\,-2)}{2\sqrt{6}}=\left(-\frac{1}{\sqrt{6}},\,\frac{2}{\sqrt{6}},\,-\frac{1}{\sqrt{6}}\right).

Passo 8

Interpretação final e incentivo rápido: então a abelhinha deve voar exatamente na direção do vetor \left(-\dfrac{1}{\sqrt{6}},\dfrac{2}{\sqrt{6}},-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right) para esfriar-se o mais rápido possível naquele instante. Se preferir, qualquer múltiplo não-nulo de (-2,4,-2) indica a mesma direção, mas o vetor unitário acima é padrão para expressar “a direção” sem escolher escala. Você já tem a ideia central: calcule o gradiente, avalie no ponto e vá no negativo.

Resposta

\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{6}},\,\frac{2}{\sqrt{6}},\,-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)

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