Calcule a derivada direcional da função na direção do vetor dado.
\quad f(x, y)=e^{-x^{2} y}+\operatorname{sen}(x y), \quad \vec{u} definido pelo ângulo \theta=\pi / 3.)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=e^{-x^{2}y}+\sin(xy)
na direção do vetor unitário \vec u que forma ângulo \theta=\pi/3 com o eixo x. Para isso precisamos lembrar que a derivada direcional em direção a \vec u é dada por
D_{\vec u}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\vec u,
onde \nabla f é o gradiente de f.

Passo 2

Primeiro encontramos o vetor unitário \vec u. Como o ângulo é \theta=\pi/3, temos
\vec u=(\cos\theta,\sin\theta)=\Bigl(\cos\frac{\pi}{3},\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)=\Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).

Passo 3

Agora calculamos o gradiente \nabla f=(f_x,f_y). Usando regra da cadeia,
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-x^2y}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin(xy)\bigr) =-2xy\,e^{-x^2y}+y\cos(xy),
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{-x^2y}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin(xy)\bigr) =-x^2\,e^{-x^2y}+x\cos(xy).

Passo 4

Aplicamos D_{\vec u}f=\nabla f\cdot\vec u:
D_{\vec u}f(x,y) =f_x\cdot\frac12+f_y\cdot\frac{\sqrt3}{2}.
Substituindo f_x e f_y,
D_{\vec u}f(x,y) =\frac12\bigl(-2xy\,e^{-x^2y}+y\cos(xy)\bigr) +\frac{\sqrt3}{2}\bigl(-x^2\,e^{-x^2y}+x\cos(xy)\bigr).

Passo 5

Se quiser, podemos agrupar os termos em e^{-x^2y} e em \cos(xy):
D_{\vec u}f(x,y) =-xy\,e^{-x^2y}-\frac{\sqrt3}{2}x^2\,e^{-x^2y} +\frac12\,y\cos(xy)+\frac{\sqrt3}{2}\,x\cos(xy).

Resposta

D_{\vec u}f(x,y) =\frac12\bigl(-2xy\,e^{-x^2y}+y\cos(xy)\bigr) +\frac{\sqrt3}{2}\bigl(-x^2\,e^{-x^2y}+x\cos(xy)\bigr).

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