Calcule a derivada direcional da função na direção do vetor dado.
f(x, y, z)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}-z^{2}}, \quad \vec{u}=\langle 0,1,2\rangle.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=\sqrt{9 - x^{2} - y^{2} - z^{2}}
e o vetor de direção \vec{u}=\langle 0,1,2\rangle.
Queremos a derivada direcional de f na direção de \vec{u}. Para isso usamos a definição
D_{\vec{u}}f(x,y,z) = \nabla f(x,y,z)\cdot \widehat{u},
onde \widehat{u} é o vetor unitário na direção de \vec{u}.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. Como f(x,y,z)=(9 - x^{2}-y^{2}-z^{2})^{1/2}, pelo regra da cadeia temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2}(9 - x^{2}-y^{2}-z^{2})^{-1/2}\cdot(-2x) =-\frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}-y^{2}-z^{2}}},
e de forma análoga
\frac{\partial f}{\partial y} =-\frac{y}{\sqrt{9 - x^{2}-y^{2}-z^{2}}}, \quad \frac{\partial f}{\partial z} =-\frac{z}{\sqrt{9 - x^{2}-y^{2}-z^{2}}}.
Logo,
\nabla f(x,y,z) =\Bigl\langle -\frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}-y^{2}-z^{2}}}, -\frac{y}{\sqrt{9 - x^{2}-y^{2}-z^{2}}}, -\frac{z}{\sqrt{9 - x^{2}-y^{2}-z^{2}}} \Bigr\rangle.

Passo 3

Normalizamos \vec{u}=\langle 0,1,2\rangle. A norma é
\|\vec{u}\| = \sqrt{0^{2}+1^{2}+2^{2}} = \sqrt{5},
portanto o vetor unitário é
\widehat{u} = \frac{1}{\sqrt{5}}\langle 0,1,2\rangle =\Bigl\langle 0,\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr\rangle.

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar
D_{\vec{u}}f(x,y,z) =\nabla f(x,y,z)\cdot \widehat{u} =\Bigl\langle -\frac{x}{R},-\frac{y}{R},-\frac{z}{R} \Bigr\rangle \cdot \Bigl\langle 0,\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr\rangle,
onde \displaystyle R=\sqrt{9 - x^{2}-y^{2}-z^{2}}.
Isso dá
D_{\vec{u}}f(x,y,z) = -\frac{x}{R}\cdot 0 -\frac{y}{R}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}} -\frac{z}{R}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{y + 2z}{\sqrt{5}\;R}.

Resposta

D_{\vec{u}}f(x,y,z) =-\frac{y + 2z}{\sqrt{5}\,\sqrt{9 - x^{2}-y^{2}-z^{2}}}.

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