Calcule a derivada direcional da função na direção do vetor dado.
\quad f(x, y)=x^{2}-y^{2}, \quad \vec{u}=\langle 1,1\rangle.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=x^{2}-y^{2}
na direção do vetor \vec{u}=\langle1,1\rangle.
Para isso vamos usar o conceito de gradiente e de vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Por definição,
\nabla f(x,y) = \bigl(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\bigr).
Derivando, obtemos
f_x = 2x, \quad f_y = -2y,
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\nabla f(x,y) = \langle 2x,\,-2y\rangle.

Passo 3

Normalizar o vetor \vec{u} para obter o vetor unitário \hat{u}. Primeiro o comprimento de \vec{u}:
\|\vec{u}\| = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}.
Então
\hat{u} = \frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} = \Bigl\langle \frac{1}{\sqrt{2}},\,\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr\rangle.

Passo 4

Usar a definição de derivada direcional em \hat{u}:
D_{\hat{u}}f(x,y) \;=\;\nabla f(x,y)\,\cdot\,\hat{u}.
Substituindo \nabla f e \hat{u}:

Passo 5

Calcular o produto escalar
\nabla f(x,y)\,\cdot\,\hat{u} = \langle 2x,\,-2y\rangle \;\cdot\;\Bigl\langle \frac{1}{\sqrt{2}},\,\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr\rangle = \frac{2x}{\sqrt{2}} + \frac{-2y}{\sqrt{2}} = \frac{2x - 2y}{\sqrt{2}}.

Resposta

D_{\vec{u}}f(x,y) = \frac{2x - 2y}{\sqrt{2}}.

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