Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis.
a) \frac{d x}{d t}=t x
b) \frac{d x}{d t}=1+x^{2}
c) \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}
d) \frac{d x}{d t}=x+t
e) \frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x^{2}+1}
f) \frac{d x}{d t}=x\left(1+t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais equações diferenciais são de variáveis separáveis. O conteúdo envolve a definição de ODE separável: uma equação da forma
\frac{dx}{dt}=g(t)\,h(x)
ou
\frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y)
é separável porque podemos escrever
\frac{1}{h(x)}\,dx = g(t)\,dt \quad\text{ou}\quad \frac{1}{g(y)}\,dy = f(x)\,dx
e então integrar cada lado.

Passo 2

Analisando a letra (a):
\frac{dx}{dt}=t\,x.
Aqui o lado direito é produto de t e x, ou seja g(t)=t e h(x)=x. Podemos escrever
\frac{1}{x}\,dx = t\,dt,
logo é separável.

Passo 3

Analisando a letra (b):
\frac{dx}{dt}=1+x^2.
O lado direito depende só de x, ou seja g(t)=1 e h(x)=1+x^2. Podemos escrever
\frac{1}{1+x^2}\,dx = 1\,dt,
logo é separável.

Passo 4

Analisando a letra (c):
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}.
O lado direito é \tfrac{1}{x}\cdot y, ou seja f(x)=\tfrac{1}{x} e g(y)=y. Podemos escrever
\frac{1}{y}\,dy = \frac{1}{x}\,dx,
logo é separável.

Passo 5

Analisando a letra (d):
\frac{dx}{dt}=x+t.
O lado direito é soma de x com t, não se separa como produto de funções de t e x. Portanto não é separável.

Passo 6

Analisando a letra (e):
\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x^2+1}.
Isso se decompõe em \tfrac{x}{x^2+1}+\tfrac{y}{x^2+1}, não podendo ser escrito no produto f(x)\,g(y). Logo não é separável (é uma ODE linear).

Passo 7

Analisando a letra (f):
\frac{dx}{dt}=x\,(1+t^2).
O lado direito é produto de x e (1+t^2), ou seja g(t)=1+t^2 e h(x)=x. Podemos escrever
\frac{1}{x}\,dx = (1+t^2)\,dt,
logo é separável.

Resposta

a), b), c) e f) são de variáveis separáveis.

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