Verifique se as seguintes funções são harmônicas. f(x, y) = e^x sen(y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função é harmônica. Isso está relacionado ao estudo de funções harmônicas na matemática, que são funções que satisfazem a equação de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e ver se a soma delas na equação de Laplace resulta em zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace, que no caso de duas variáveis é:
Aqui, é a segunda derivada parcial de em relação a , e é a segunda derivada parcial em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de em relação a :
Agora, a segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos a primeira derivada de em relação a :
E a segunda derivada em relação a :

Passo 5

Agora, vamos somar as segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
Como a soma das derivadas é igual a zero, isso satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

Sim, a função é harmônica.

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