Verifique se as seguintes funções são harmônicas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função
é harmônica. Isso está relacionado ao estudo de funções harmônicas na matemática, que são funções que satisfazem a equação de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e ver se a soma delas na equação de Laplace resulta em zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função harmônica. Uma função
é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace, que no caso de duas variáveis é:
Aqui,
é a segunda derivada parcial de
em relação a
, e
é a segunda derivada parcial em relação a
.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, calculamos a primeira derivada de
em relação a
:
E a segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos somar as segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
Como a soma das derivadas é igual a zero, isso satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
Sim, a função
é harmônica.