Encontre a equação do plano tangente às seguintes superfícies. x^2 + 4y^2 = z^2 no ponto P = (3, 2, 5) (o cone elíptico)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas parciais e gradiente, que nos ajudam a encontrar a inclinação da superfície naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a superfície dada pela equação . Podemos reescrever isso como uma função implícita:

Passo 3

O próximo passo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a , e . Essas derivadas formam o gradiente da função, que nos dá a direção perpendicular à superfície naquele ponto.
Calculando as derivadas:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com o gradiente calculado no ponto , podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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