Calcule a derivada direcional da função
no ponto (1,2) na direção
. Qual o valor máximo entre as derivadas direcionais
? Em que direção ocorre esse valor?
Passo 1
A questão pede a derivada direcional de
em
na direção
, além de determinar qual o valor máximo possível das derivadas direcionais em
e em que direção isso ocorre. Vamos usar o conceito de gradiente e a definição de derivada direcional.
Passo 2
Para encontrar a derivada direcional, primeiro calculamos o gradiente de
. As derivadas parciais são
Logo, o vetor gradiente é:
$$\nabla f(x,y)=(3x^2,,2y).
$$
Passo 3
Agora verificamos que
é unitário, pois
$$|u|=\sqrt{(1/2)2+(\sqrt3/2)2}=\sqrt{1/4+3/4}=1.
Passo 4
Aplicando o produto escalar:
Passo 5
O valor máximo da derivada direcional em um ponto é o módulo do gradiente. Temos
$$\max_u D_u f(1,2)=|\nabla f(1,2)|=\sqrt{32+42}=5.
$$
Resposta
D_u f(1,2)=
. O valor máximo das derivadas direcionais em (1,2) é
, e ocorre na direção
.