Calcule a derivada direcional da função f(x, y)=x^3+y^2 no ponto (1,2) na direção u=(1 / 2, raiz3 / 2). Qual o valor máximo entre as derivadas direcionais Du f(1,2) ? Em que direção ocorre esse valor?

Passo 1

A questão pede a derivada direcional de f(x,y)=x^3+y^2 em (1,2) na direção u=(1/2,raiz3/2), além de determinar qual o valor máximo possível das derivadas direcionais em (1,2) e em que direção isso ocorre. Vamos usar o conceito de gradiente e a definição de derivada direcional.

Passo 2

Para encontrar a derivada direcional, primeiro calculamos o gradiente de f. As derivadas parciais são
fx(x,y)=3x^2, fy(x,y)=2y
Logo, o vetor gradiente é:
$$\nabla f(x,y)=(3x^2,,2y).
nabla f(x,y)=(3x^2,,2y) \nabla f(1,2)=(3\cdot1^2,,2\cdot2)=(3,4).
$$

Passo 3

Agora verificamos que u=(1/2,raiz3/2) é unitário, pois
$$|u|=\sqrt{(1/2)2+(\sqrt3/2)2}=\sqrt{1/4+3/4}=1.
|u|=raiz(1/2)^2+(raiz3/2)^2=raiz1/4+3/4=1 çãéD_u f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot u.$$

Passo 4

Aplicando o produto escalar:
Du f(1,2)= (3,4)cdotl(tfrac12,tfracraiz32r) =3cdottfrac12 + 4cdottfracraiz32 =3+4raiz32

Passo 5

O valor máximo da derivada direcional em um ponto é o módulo do gradiente. Temos
$$\max_u D_u f(1,2)=|\nabla f(1,2)|=\sqrt{32+42}=5.
maxu Du f(1,2)=|nabla f(1,2)|=raiz3^2+4^2=5 áçãóá\frac{\nabla f(1,2)}{|\nabla f(1,2)|} = \Bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\Bigr).
$$

Resposta

D_u f(1,2)= tfrac3+4raiz32. O valor máximo das derivadas direcionais em (1,2) é 5, e ocorre na direção (3/5,4/5).

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