Encontre o raio e o intervalo de convergência da serie.
sumn=1^infty (-3)^nn raizn x^n

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty (-3)^nnraiznx^n. Estamos no tema de séries de potências, e para achar o raio e intervalo de convergência vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, consideramos an = (-3)^nnraizn e calculamos
limntoinfty | an+1x^n+1an x^n | = limntoinfty 3|x| cdot nraizn(n+1)raizn+1 = 3|x|
A série converge se L<1, ou seja 3|x|<1, daí o raio de convergência é R=13.

Passo 3

Agora testamos o ponto x=13. Substituindo,
sumn=1^infty (-3)^nnraiznl(tfrac13r)^n = sumn=1^infty (-1)^nn^3/2
Como sum 1/n^3/2 é convergente (p-série com p=3/2>1), a série converge absolutamente em x=1/3.

Passo 4

Testando x=-tfrac13,
sumn=1^infty (-3)^nnraiznl(-tfrac13r)^n = sumn=1^infty 1n^3/2,
que também converge (mesma p-série). Assim o intervalo de convergência inclui ambos os extremos.

Resposta

Raio de convergência: R = 1/3. Intervalo de convergência: [–1/3, 1/3].

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