Encontre o raio e o intervalo de convergência da serie.
Passo 1
A série dada é . Estamos no tema de séries de potências, e para achar o raio e intervalo de convergência vamos usar o teste da razão.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão, consideramos e calculamos
A série converge se L<1, ou seja 3|x|<1, daí o raio de convergência é R=13.
Passo 3
Agora testamos o ponto x=13. Substituindo,
sumn=1^infty (-3)^nnraiznl(tfrac13r)^n = sumn=1^infty (-1)^nn^3/2
Como sum 1/n^3/2 é convergente (p-série com p=3/2>1), a série converge absolutamente em x=1/3.
Passo 4
Testando x=-tfrac13,
sumn=1^infty (-3)^nnraiznl(-tfrac13r)^n = sumn=1^infty 1n^3/2,
que também converge (mesma p-série). Assim o intervalo de convergência inclui ambos os extremos.
Resposta
Raio de convergência: R = 1/3. Intervalo de convergência: [–1/3, 1/3].