Determine y^prime prime(0), y^prime prime prime(0) e y^(4)(0), sendo y(x) a solução do problema de valor inicial:
[
y^{\prime \prime}+x^{3} y^{\prime}+y=0 \quad, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar as derivadas segunda, terceira e quarta da função $ y(x) $ no ponto $ x = 0 $. O que a gente tem é uma equação diferencial de segunda ordem:
y(x)
Além disso, temos as condições iniciais:
x = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar a ideia de derivar a equação várias vezes e substituir $ x = 0 $ para encontrar as derivadas que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada $ y’’(0) $. A equação dada é:
y''(0)
Queremos avaliar essa equação em $ x = 0 $. Substituindo:
y'' + x^3 y' + y = 0
Sabemos que $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Então:
x = 0

Passo 3

Agora, vamos achar a terceira derivada $ y’’’(0) $. Para isso, vamos diferenciar a equação original em relação a $ x $:
y'''(0)
Diferenciando cada termo:
x
Agora, avaliamos em $ x = 0 $:
ddx( y'' + x^3 y' + y ) = 0
Substituindo os valores que já sabemos ($ y’(0) = 0 $):
y''' + 3x^2 y' + x^3 y'' + y' = 0

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a quarta derivada $ y^{(4)}(0) $. Vamos diferenciar novamente a equação que obtivemos no passo anterior:
y^(4)(0)
Diferenciando cada termo:
y''' + 3x^2 y' + x^3 y'' + y' = 0
Simplificando:
y^(4) + 6x y' + 3x^2 y'' + 3x^2 y'' + x^3 y''' + y'' = 0
Agora, avaliamos em $ x = 0 $:
y^(4) + 6x y' + 6x^2 y'' + x^3 y''' + y'' = 0
Substituindo os valores conhecidos ($ y’(0) = 0 $ e $ y’’(0) = -1 $):
x = 0

Resposta

y''(0) = -1, y'''(0) = 0, e y^(4)(0) = 1

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