Determine
e
, sendo
a solução do problema de valor inicial:
[
y^{\prime \prime}+x^{3} y^{\prime}+y=0 \quad, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0
y^{\prime \prime}+x^{3} y^{\prime}+y=0 \quad, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar as derivadas segunda, terceira e quarta da função $ y(x) $ no ponto $ x = 0 $. O que a gente tem é uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar a ideia de derivar a equação várias vezes e substituir $ x = 0 $ para encontrar as derivadas que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada $ y’’(0) $. A equação dada é:
Queremos avaliar essa equação em $ x = 0 $. Substituindo:
Sabemos que $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Então:
Passo 3
Agora, vamos achar a terceira derivada $ y’’’(0) $. Para isso, vamos diferenciar a equação original em relação a $ x $:
Diferenciando cada termo:
Agora, avaliamos em $ x = 0 $:
Substituindo os valores que já sabemos ($ y’(0) = 0 $):
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a quarta derivada $ y^{(4)}(0) $. Vamos diferenciar novamente a equação que obtivemos no passo anterior:
Diferenciando cada termo:
Simplificando:
Agora, avaliamos em $ x = 0 $:
Substituindo os valores conhecidos ($ y’(0) = 0 $ e $ y’’(0) = -1 $):