Calcule a derivada direcional das funções no ponto P dado na direção de u :
h(x, y, z)=10+ln (1+x^2+y^2+z^2), P=(1,-1,1) e u=(1,2,2).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada direcional da função $ h(x, y, z) = 10 + \ln(1 + x^2 + y^2 + z^2) $ no ponto $ P = (1, -1, 1) $ na direção do vetor $ \vec{u} = (1, 2, 2) $. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função $ h $ no ponto $ P $ e normalizar o vetor $ \vec{u} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor específico mede a taxa de variação da função nessa direção. Para calcular isso, usamos o gradiente da função no ponto e fazemos o produto escalar com o vetor direcionador.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de $ h $. O gradiente $ \nabla h $ é um vetor que contém as derivadas parciais de $ h $ em relação a cada variável:
h
Calculando cada derivada parcial:
nabla h
h
nabla h = ( partial hpartial x, partial hpartial y, partial hpartial z )

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P = (1, -1, 1) $. Primeiro, calculamos o denominador:
P = (1, -1, 1)
Então, as componentes do gradiente em $ P $ são:
1 + 1^2 + (-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
P
partial hpartial x = 2 times 14 = 24 = 0,5
Portanto,
partial hpartial y = 2 times (-1)4 = -24 = -0,5

Passo 5

Em seguida, precisamos normalizar o vetor $ \vec{u} = (1, 2, 2) $. A normalização consiste em dividir o vetor pelo seu módulo (comprimento):
u = (1, 2, 2)
Então, o vetor unitário na direção de $ \vec{u} $ é:
|u| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3 á

Passo 6

Agora, fazemos o produto escalar entre o gradiente $ \nabla h§ $ e o vetor unitário $ \vec{u}_{unitário} $:
nabla h(P) á
Calculando termo a termo:
uunitário
Du h(P) = nabla h(P) cdot uunitário = 0,5 times 13 + (-0,5) times 23 + 0,5 times 23
0,5 times 13 = 0,53 approx 0,1667
Somando os resultados:
-0,5 times 23 = -13 approx -0,3333

Resposta

A derivada direcional de $ h $ no ponto $ P = (1, -1, 1) $ na direção de $ \vec{u} = (1, 2, 2) $ é aproximadamente 0,1667.

Exercícios relacionados