Calcule a derivada direcional das funções no ponto
dado na direção de
:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada direcional da função $ h(x, y, z) = 10 + \ln(1 + x^2 + y^2 + z^2) $ no ponto $ P = (1, -1, 1) $ na direção do vetor $ \vec{u} = (1, 2, 2) $. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função $ h $ no ponto $ P $ e normalizar o vetor $ \vec{u} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor específico mede a taxa de variação da função nessa direção. Para calcular isso, usamos o gradiente da função no ponto e fazemos o produto escalar com o vetor direcionador.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de $ h $. O gradiente $ \nabla h $ é um vetor que contém as derivadas parciais de $ h $ em relação a cada variável:
Calculando cada derivada parcial:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P = (1, -1, 1) $. Primeiro, calculamos o denominador:
Então, as componentes do gradiente em $ P $ são:
Portanto,
Passo 5
Em seguida, precisamos normalizar o vetor $ \vec{u} = (1, 2, 2) $. A normalização consiste em dividir o vetor pelo seu módulo (comprimento):
Então, o vetor unitário na direção de $ \vec{u} $ é:
Passo 6
Agora, fazemos o produto escalar entre o gradiente $ \nabla h§ $ e o vetor unitário $ \vec{u}_{unitário} $:
Calculando termo a termo:
Somando os resultados:
Resposta
A derivada direcional de $ h $ no ponto $ P = (1, -1, 1) $ na direção de $ \vec{u} = (1, 2, 2) $ é aproximadamente 0,1667.