Determine o intervalo de convergência da seguinte série:
sumn=0^infty (4 x+1)^nn^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série infinita dada por:
sumn=0^infty (4x+1)^nn^2
Isso faz parte do conteúdo de Análise de Séries em cálculo. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar para quais valores de $ x $ a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa intervalo de convergência. Basicamente, é o conjunto de valores de $ x $ para os quais a série infinita dá um resultado finito. Para encontrar esse intervalo, usamos o Teste da Razão, que analisa o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão na nossa série, vamos calcular:
L = limn to infty | an+1an |
Onde $ a_n = \frac{(4x+1){n}}{n{2}} $. Então,
an = (4x+1)^nn^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, a série converge se $ L < 1 $. Então, temos:
L < 1
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar $ x $.

Passo 6

Resolvendo a desigualdade:
|4x + 1| < 1 Rightarrow -1 < 4x + 1 < 1 Rightarrow -2 < 4x < 0 Rightarrow -24 < x < 0 Rightarrow -12 < x < 0

Passo 7

Agora, testamos as extremidades do intervalo para ver se a série converge nesses valores.
  • Para $ x = -\frac{1}{2} $:
x = -12
A série se torna:
4x + 1 = 4 ( -12 ) + 1 = -2 + 1 = -1
Essa é uma série alternada que converge pelo Teste de Leibniz.
  • Para $ x = 0 $:
sumn=0^infty (-1)^nn^2
A série se torna:
x = 0
Essa é uma série p com $ p = 2 > 1 $, que também converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é:
boxed,[, -dfrac12 ,,,; 0,],

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