Determine o intervalo de convergência da seguinte série:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série infinita dada por:
Isso faz parte do conteúdo de Análise de Séries em cálculo. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar para quais valores de $ x $ a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa intervalo de convergência. Basicamente, é o conjunto de valores de $ x $ para os quais a série infinita dá um resultado finito. Para encontrar esse intervalo, usamos o Teste da Razão, que analisa o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão na nossa série, vamos calcular:
Onde $ a_n = \frac{(4x+1){n}}{n{2}} $. Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão, a série converge se $ L < 1 $. Então, temos:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar $ x $.
Passo 6
Resolvendo a desigualdade:
Passo 7
Agora, testamos as extremidades do intervalo para ver se a série converge nesses valores.
- Para $ x = -\frac{1}{2} $:
A série se torna:
Essa é uma série alternada que converge pelo Teste de Leibniz.
- Para $ x = 0 $:
A série se torna:
Essa é uma série p com $ p = 2 > 1 $, que também converge.
Resposta
O intervalo de convergência da série é: