Determine o ponto do plano
mas próximo da origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto no plano
que está mais próximo da origem (o ponto
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente de planos e distância entre pontos e planos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano é uma superfície que pode ser descrita por uma equação do tipo
. No nosso caso, a equação do plano é
, onde
,
,
e
.
Passo 3
Para encontrar o ponto mais próximo da origem nesse plano, precisamos entender que esse ponto estará na direção perpendicular ao plano. A direção perpendicular a um plano é dada pelo vetor normal ao plano, que são os coeficientes de
,
e
na equação do plano. Então, o vetor normal é
.
Passo 4
A distância
de um ponto
até um plano
é dada pela fórmula:
Como queremos o ponto mais próximo da origem
, vamos substituir
,
,
na fórmula.
Passo 5
Substituindo na fórmula de distância, temos:
Isso nos dá a distância da origem ao plano, mas queremos encontrar as coordenadas do ponto que está exatamente nessa distância na direção do vetor normal.
Passo 6
O ponto mais próximo estará na direção do vetor normal
. Para achar as coordenadas desse ponto, vamos determinar quanto precisamos mover na direção de
a partir da origem para chegar ao plano.
Passo 7
Podemos usar a seguinte relação para encontrar o ponto
mais próximo:
Onde
é um escalar que determina o quanto movemos na direção do vetor normal. Substituindo, temos:
Passo 8
Agora, substituímos as coordenadas de
na equação do plano para encontrar o valor de
:
Passo 9
Com
, substituímos de volta para encontrar as coordenadas do ponto:
Resposta
O ponto no plano
mais próximo da origem é
.