Determine o ponto do plano 3 x+y+4 z=13 mas próximo da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto no plano 3x + y + 4z = 13 que está mais próximo da origem (o ponto (0, 0, 0)). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente de planos e distância entre pontos e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano é uma superfície que pode ser descrita por uma equação do tipo Ax + By + Cz = D. No nosso caso, a equação do plano é 3x + y + 4z = 13, onde A = 3, B = 1, C = 4 e D = 13.

Passo 3

Para encontrar o ponto mais próximo da origem nesse plano, precisamos entender que esse ponto estará na direção perpendicular ao plano. A direção perpendicular a um plano é dada pelo vetor normal ao plano, que são os coeficientes de x, y e z na equação do plano. Então, o vetor normal é n = (3, 1, 4).

Passo 4

A distância d de um ponto (x0, y0, z0) até um plano Ax + By + Cz = D é dada pela fórmula:
d = |Ax0 + By0 + Cz0 - D|raizA^2 + B^2 + C^2
Como queremos o ponto mais próximo da origem (0, 0, 0), vamos substituir x0 = 0, y0 = 0, z0 = 0 na fórmula.

Passo 5

Substituindo na fórmula de distância, temos:
d = |3(0) + 1(0) + 4(0) - 13|raiz3^2 + 1^2 + 4^2 = |-13|raiz9 + 1 + 16 = 13raiz26
Isso nos dá a distância da origem ao plano, mas queremos encontrar as coordenadas do ponto que está exatamente nessa distância na direção do vetor normal.

Passo 6

O ponto mais próximo estará na direção do vetor normal n = (3, 1, 4). Para achar as coordenadas desse ponto, vamos determinar quanto precisamos mover na direção de n a partir da origem para chegar ao plano.

Passo 7

Podemos usar a seguinte relação para encontrar o ponto P(x, y, z) mais próximo:
P = t cdot n
Onde t é um escalar que determina o quanto movemos na direção do vetor normal. Substituindo, temos:
P = t cdot (3, 1, 4) = (3t, t, 4t)

Passo 8

Agora, substituímos as coordenadas de P na equação do plano para encontrar o valor de t:
3(3t) + (t) + 4(4t) = 13 9t + t + 16t = 13 26t = 13 t = 1326 = 12

Passo 9

Com t = 12, substituímos de volta para encontrar as coordenadas do ponto:
P = (3 cdot 12, 1 cdot 12, 4 cdot 12) = (32, 12, 2)

Resposta

O ponto no plano 3x + y + 4z = 13 mais próximo da origem é (32, 12, 2).

Exercícios relacionados