Determine a representação em série de potências da seguinte função e identifique seu intervalo de convergência:
Passo 1
Então, a gente tem a função $ f(x) = \frac{1}{1 + x^{2}} $. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma representação dessa função em forma de série de potências e descobrir para quais valores de $ x $ essa série converge. Para isso, vamos usar a série geométrica, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a série geométrica. A série geométrica é dada por:
Aqui, $ r $ é a razão da série, e a condição $ |r| < 1 $ é fundamental para que a série converja.
Passo 3
Agora, vamos tentar escrever a nossa função $ f(x) $ de uma forma que se pareça com a série geométrica. Observando a função:
Viu como ficou parecido? Agora conseguimos identificar que $ r = -x^{2} $.
Passo 4
Com isso, podemos substituir $ r $ na fórmula da série geométrica:
Então, a série que representa a função é $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} x^{2n} $.
Passo 5
Para saber onde essa série converge, vamos usar a condição da série geométrica $ |r| < 1 $. No nosso caso:
Isso significa que a série converge para todos os $ x $ cujo valor absoluto seja menor que 1, ou seja, $ -1 < x < 1 $.
Resposta
A representação em série de potências da função $ f(x) = \frac{1}{1 + x^{2}} $ é:
e o intervalo de convergência dessa série é $ -1 < x < 1 $.