Calcule a derivada direcional partial fpartial u(1,-1), onde f(x, y)=3 x^4-3 y^2+2 x^2 y e u é o versor de v=(1,1). No ponto (1,-1) determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento de f. Em seguida, exiba qual é o valor da taxa de crescimento nesta direção de maior crescimento.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de f em (1,−1) ao longo do versor de v=(1,1), além de determinar o vetor de maior crescimento de f nesse ponto e a taxa de crescimento máxima. O conteúdo envolve derivadas parciais, gradiente e derivada direcional. Para lembrar: a derivada direcional de f ao longo de um versor u é dada por D_uf(𝐱)=∇f(𝐱)·u. Aqui vamos precisar calcular o gradiente de f, obter seu valor em (1,−1), achar u e depois fazer o produto escalar.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=3x4−3y2+2x^2y:
∂f/∂x=12x^3+4xy,
∂f/∂y=−6y+2x^2

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (1,−1):
∂f/∂x(1,−1)=12·1^3+4·1·(−1)=12−4=8,
∂f/∂y(1,−1)=−6·(−1)+2·1^2=6+2=8

Passo 4

Logo, o gradiente em (1,−1) é ∇f(1,−1)=(8,8). O versor de v=(1,1) é u=v/||v||=(1,1)/√2=(1/√2,1/√2).

Passo 5

A derivada direcional ao longo de u fica então:
Duf(1,−1)=∇f(1,−1)·u=(8,8)·(1/√2,1/√2)=8+8√2=16√2=8raiz2

Passo 6

O vetor de direção e sentido de maior crescimento de f em (1,−1) é justamente o gradiente ∇f(1,−1)=(8,8) e a taxa de crescimento máxima nessa direção é o seu módulo:
||∇f(1,−1)||=raiz8^2+8^2=raiz128=8raiz2

Resposta

A derivada direcional ao longo de u em (1,−1) é 8√2; o vetor de maior crescimento é (8,8) e a taxa de crescimento máxima nessa direção é 8√2.

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