Calcule a derivada direcional
, onde
e
é o versor de
. No ponto
determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento de
. Em seguida, exiba qual é o valor da taxa de crescimento nesta direção de maior crescimento.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada direcional de f em (1,−1) ao longo do versor de v=(1,1), além de determinar o vetor de maior crescimento de f nesse ponto e a taxa de crescimento máxima. O conteúdo envolve derivadas parciais, gradiente e derivada direcional. Para lembrar: a derivada direcional de f ao longo de um versor u é dada por D_uf(𝐱)=∇f(𝐱)·u. Aqui vamos precisar calcular o gradiente de f, obter seu valor em (1,−1), achar u e depois fazer o produto escalar.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=3x4−3y2+2x^2y:
Passo 3
Agora avaliamos essas derivadas no ponto (1,−1):
Passo 4
Logo, o gradiente em (1,−1) é ∇f(1,−1)=(8,8). O versor de v=(1,1) é u=v/||v||=(1,1)/√2=(1/√2,1/√2).
Passo 5
A derivada direcional ao longo de u fica então:
Passo 6
O vetor de direção e sentido de maior crescimento de f em (1,−1) é justamente o gradiente ∇f(1,−1)=(8,8) e a taxa de crescimento máxima nessa direção é o seu módulo:
Resposta
A derivada direcional ao longo de u em (1,−1) é 8√2; o vetor de maior crescimento é (8,8) e a taxa de crescimento máxima nessa direção é 8√2.