Seja z=f(x, y) uma função diferenciável definida implicitamente pela equação 3 x^2 y^2-z^3+x y z=3-sen(x y). Determine as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

A questão dá a relação implícita
3x^2y^2 - z^3 + x y z = 3 - sin(xy)
e pede para achar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y. O conteúdo aqui é diferenciação implícita de funções de duas variáveis.

Passo 2

Vamos definir
F(x,y,z)=3x^2y^2 - z^3 + x y z - 3 + sin(xy)
de modo que a relação original seja F(x,y,z)=0. Pela diferenciação implícita vale
partial zpartial x = -FxFz,
partial zpartial y = -FyFz

Passo 3

Agora calculo as derivadas parciais de F:
Fx = partialpartial x(3x^2y^2) + partialpartial x(-z^3) + partialpartial x(x y z) + partialpartial x(sin(xy))
tratando z como independente ao calcular Fx. Assim,
Fx = 6x y^2 + 0 + y z + ycos(xy) = 6x y^2 + y z + ycos(xy)
De modo similar,
Fy = 6x^2 y + x z + xcos(xy),
e em relação a z:
Fz = -3z^2 + x y

Passo 4

Basta agora aplicar as fórmulas:
partial zpartial x = -6x y^2 + y z + ycos(xy)-3z^2 + x y = 6x y^2 + y z + ycos(xy)3z^2 - x y,
partial zpartial y = -6x^2 y + x z + xcos(xy)-3z^2 + x y = 6x^2 y + x z + xcos(xy)3z^2 - x y

Resposta

partial zpartial x=6xy^2 + yz + ycos(xy)3z^2 - xy, partial zpartial y=6x^2y + xz + xcos(xy)3z^2 - xy

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