Determine a derivada direcional máxima de
em
e a direção em que isto ocorre.
.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=
no ponto P=(1,1) e pede a derivada direcional máxima e a direção em que ela ocorre. Vamos usar o conceito de gradiente e a relação entre gradiente e derivada direcional.
Passo 2
A teoria diz que a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário u é dada por
. O valor máximo de
ocorre quando u aponta na direção de
e seu valor é
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais usando regra da cadeia. Temos
e de forma análoga
e de forma análoga
Passo 4
Agora avaliamos em P=(1,1). Como
,
.
Seu módulo é
,
então essa é a derivada direcional máxima e sua direção é a do próprio gradiente.
Seu módulo é
então essa é a derivada direcional máxima e sua direção é a do próprio gradiente.
Resposta
A derivada direcional máxima em P é 1 e ocorre na direção do vetor unitário
.