Determine a derivada direcional máxima de f em P e a direção em que isto ocorre.
f(x, y)=raiz4-x^2-y^2, (1,1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)= raiz4 - x^2 - y^2 no ponto P=(1,1) e pede a derivada direcional máxima e a direção em que ela ocorre. Vamos usar o conceito de gradiente e a relação entre gradiente e derivada direcional.

Passo 2

A teoria diz que a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário u é dada por Duf(P)=nabla f(P)cdot u. O valor máximo de Duf(P) ocorre quando u aponta na direção de nabla f(P) e seu valor é |nabla f(P)|.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais usando regra da cadeia. Temos
partial fpartial x=12(4 - x^2 - y^2)^-1/2cdot(-2x)=-xraiz4 - x^2 - y^2
e de forma análoga
partial fpartial y=-yraiz4 - x^2 - y^2

Passo 4

Agora avaliamos em P=(1,1). Como raiz4 - 1^2 - 1^2=raiz2,
nabla f(1,1)=l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r).
Seu módulo é
|nabla f(1,1)|=raizl(-tfrac1raiz2r)^2+l(-tfrac1raiz2r)^2=1,
então essa é a derivada direcional máxima e sua direção é a do próprio gradiente.

Resposta

A derivada direcional máxima em P é 1 e ocorre na direção do vetor unitário l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r).

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