Se
é o caminho que transita a elipse
no sentido anti-horário aplicar o Teorema de Green para calcular a integral de linha
(Sugestão: A área encerrada pela elipse
é
.)
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma elipse dada pela equação
, e queremos calcular a integral de linha
ao longo desse caminho
, que percorre a elipse no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pelo caminho. Além disso, precisamos lembrar que a área da elipse é
.
Passo 2
O Teorema de Green nos diz que, para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
da seguinte expressão:
Isso significa que, em vez de calcular a integral ao longo da curva, podemos calcular uma integral dupla sobre a área dentro da curva, o que muitas vezes é mais fácil.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar as funções
e
no nosso problema:
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Passo 6
A integral dupla
representa a área da região
delimitada pela elipse. Sabemos que a área de uma elipse é dada por:
Então,
Passo 7
Substituindo a área na expressão anterior:
Resposta
A integral de linha é igual a
.