Se lambda é o caminho que transita a elipse x^2a^2+y^2b^2=1 no sentido anti-horário aplicar o Teorema de Green para calcular a integral de linha
ointlambda(x+y) d x+(y-x) d y
(Sugestão: A área encerrada pela elipse x^2a^2+y^2b^2=1 é pi a b.)

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma elipse dada pela equação x^2a^2 + y^2b^2 = 1, e queremos calcular a integral de linha
ointlambda (x + y) , dx + (y - x) , dy
ao longo desse caminho lambda, que percorre a elipse no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pelo caminho. Além disso, precisamos lembrar que a área da elipse é pi a b.

Passo 2

O Teorema de Green nos diz que, para um campo vetorial F = (P, Q), a integral de linha ao redor de uma curva fechada lambda é igual à integral dupla sobre a região D limitada por lambda da seguinte expressão:
ointlambda P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Isso significa que, em vez de calcular a integral ao longo da curva, podemos calcular uma integral dupla sobre a área dentro da curva, o que muitas vezes é mais fácil.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar as funções P e Q no nosso problema:
P = x + y Q = y - x

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y:
partial Qpartial x = partialpartial x (y - x) = -1 partial Ppartial y = partialpartial y (x + y) = 1

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaD (-1 - 1) dA = integral duplaD (-2) dA

Passo 6

A integral dupla integral duplaD dA representa a área da região D delimitada pela elipse. Sabemos que a área de uma elipse é dada por:
Área = pi a b Á
Então,
integral duplaD dA = pi a b

Passo 7

Substituindo a área na expressão anterior:
integral duplaD (-2) dA = -2 times pi a b = -2pi a b

Resposta

A integral de linha é igual a -2pi a b.

Exercícios relacionados