Calcule a derivada direcional
, onde
e
é 0 versor de
. No ponto
determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento de
. Em seguida, exiba qual é o valor da taxa de crescimento nesta direçāo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, vamos entender o que ele pede. Temos uma função
e queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto
na direção de um vetor unitário
que é o versor de
. Além disso, precisamos encontrar o vetor que aponta para a direção de maior crescimento de
nesse ponto e a taxa de crescimento nessa direção.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas direcionais, vetores unitários, gradiente da função e direções de crescimento máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o versor
a partir do vetor
. Um versor é simplesmente o vetor
dividido pelo seu comprimento, tornando-o de magnitude 1.
A fórmula para o versor é:
onde
é o comprimento do vetor
.
Passo 3
Vamos calcular o comprimento de
:
Agora, o versor
é:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada direcional
. A fórmula para a derivada direcional é:
onde
é o gradiente da função
e
representa o produto escalar.
Passo 5
Vamos encontrar o gradiente
da função
. O gradiente é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
No ponto
:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada direcional usando o gradiente e o versor:
Fazendo o produto escalar:
Passo 7
Agora, precisamos determinar o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento de
no ponto
. Esse vetor é simplesmente o gradiente
no ponto considerado.
Então, o vetor de maior crescimento é:
Passo 8
Finalmente, a taxa de crescimento na direção de maior crescimento é o comprimento do gradiente. Calculamos isso usando a norma do vetor gradiente:
Resposta
A derivada direcional
é
. O vetor que aponta para a direção de maior crescimento de
no ponto
é
. A taxa de crescimento nessa direção é
.