Calcule a derivada direcional partial fpartial u(1,1), onde f(x, y)=x^3-3 y^2+x y e u é 0 versor de v=(-1,2). No ponto (1,1) determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento de f. Em seguida, exiba qual é o valor da taxa de crescimento nesta direçāo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, vamos entender o que ele pede. Temos uma função e queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto na direção de um vetor unitário que é o versor de . Além disso, precisamos encontrar o vetor que aponta para a direção de maior crescimento de nesse ponto e a taxa de crescimento nessa direção.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas direcionais, vetores unitários, gradiente da função e direções de crescimento máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o versor u = v||v|| a partir do vetor . Um versor é simplesmente o vetor dividido pelo seu comprimento, tornando-o de magnitude 1.
A fórmula para o versor é:
onde é o comprimento do vetor .

Passo 3

Vamos calcular o comprimento de ||v|| = raiz(-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5 :
u = (-1, 2)raiz5 = ( -1raiz5, 2raiz5 )
Agora, o versor é:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada direcional partial fpartial u = nabla f cdot u . A fórmula para a derivada direcional é:
onde é o gradiente da função e representa o produto escalar.

Passo 5

Vamos encontrar o gradiente nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) da função partial fpartial x = 3x^2 + y . O gradiente é dado pelas derivadas parciais de partial fpartial y = -6y + x em relação a partial fpartial x = 3(1)^2 + 1 = 4 e partial fpartial y = -6(1) + 1 = -5 :
abla f(1,1) = (4, -5)
Calculando as derivadas:
No ponto :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada direcional usando o gradiente e o versor:
partial fpartial u(1,1) = nabla f(1,1) cdot u = (4, -5) cdot ( -1raiz5, 2raiz5 )
Fazendo o produto escalar:
partial fpartial u(1,1) = 4 ( -1raiz5 ) + (-5) ( 2raiz5 ) = -4raiz5 + -10raiz5 = -14raiz5

Passo 7

Agora, precisamos determinar o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento de abla f(1,1) = (4, -5) no ponto . Esse vetor é simplesmente o gradiente no ponto considerado.
Então, o vetor de maior crescimento é:

Passo 8

Finalmente, a taxa de crescimento na direção de maior crescimento é o comprimento do gradiente. Calculamos isso usando a norma do vetor gradiente:
||nabla f(1,1)|| = raiz4^2 + (-5)^2 = raiz16 + 25 = raiz41

Resposta

A derivada direcional é . O vetor que aponta para a direção de maior crescimento de no ponto é . A taxa de crescimento nessa direção é .

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