Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha usando o teorema de Stokes. A função vetorial é dada por:
E a curva é um triângulo com vértices nos pontos , e . Vamos usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha sobre com a integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície limitada por .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Stokes. Ele diz que:
Ou seja, a integral de linha sobre a curva é igual à integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como contorno. Então, nossa tarefa é calcular o rotacional de e depois integrar isso sobre a superfície .
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de , que é . Lembrando que:
Vamos calcular cada componente:
(Aqui parece que deveria ser uma das variáveis, provavelmente . Vamos assumir , então )
Agora, vamos às derivadas:
(pois não depende de )
(pois não depende de )
(pois não depende de )
(pois não depende de )
Então, substituindo:
Passo 4
Agora que temos o rotacional , precisamos calcular a integral de superfície .
Primeiro, vamos determinar a superfície . Como é um triângulo com vértices em , e , podemos escolher como esse triângulo no espaço tridimensional.
Para encontrar a normal à superfície, podemos usar o produto vetorial dos vetores que formam os lados do triângulo.
Vamos considerar os vetores:
O produto vetorial dará a normal à superfície:
A normal unitária n será:
n = 30 i + 30 j + 25 kraiz30^2 + 30^2 + 25^2 = 30 i + 30 j + 25 kraiz900 + 900 + 625 = 30 i + 30 j + 25 kraiz2425 = 30 i + 30 j + 25 k49.24
Para simplificar os cálculos, vamos considerar apenas a magnitude da normal, já que o rotacional nabla times F é constante.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = (nabla times F) cdot ( AB times AC|AB times AC| ) cdot Área(S) Á
Sabemos que nabla times F = -5 j - 38 k e AB times AC = 30 i + 30 j + 25 k.
Primeiro, calculamos o produto escalar:
(nabla times F) cdot (AB times AC) = (-5)(30) + (-38)(25) = -150 - 950 = -1100
Agora, a magnitude de AB times AC é 49.24, como vimos anteriormente. Então:
(nabla times F) cdot n = -110049.24 approx -22.34
Agora, precisamos encontrar a área do triângulo S. A área de um triângulo formado por dois vetores AB e AC é:
Área(S) = 12 |AB times AC| = 12 times 49.24 approx 24.62 Á
Então, a integral de superfície é:
-22.34 times 24.62 approx -550
Resposta
A integral de linha integralC F cdot d r vale aproximadamente -550.