(2,5) Use o teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r em que
F(x, y, z)=(38 y+arcsin x) i+e^u^2 j+(5 x+ln (z^2+4)) k
C ê o triángulo com vêtices (5,0,0),(0,5,0) e (0,0,6)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot d r usando o teorema de Stokes. A função vetorial F(x, y, z) é dada por:
F(x, y, z) = (38 y + arcsin x) i + e^u^2 j + (5 x + ln (z^2+4)) k
E a curva C é um triângulo com vértices nos pontos (5,0,0), (0,5,0) e (0,0,6). Vamos usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha sobre C com a integral de superfície do rotacional de F sobre uma superfície S limitada por C.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Stokes. Ele diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Ou seja, a integral de linha sobre a curva C é igual à integral de superfície do rotacional de F sobre uma superfície S que tem C como contorno. Então, nossa tarefa é calcular o rotacional de F e depois integrar isso sobre a superfície S.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F, que é nabla times F. Lembrando que:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  • Fx = 38 y + arcsin x
  • Fy = e^u^2 (Aqui parece que u deveria ser uma das variáveis, provavelmente y. Vamos assumir u = y, então Fy = e^y^2)
  • Fz = 5 x + ln(z^2+4)
Agora, vamos às derivadas:
  • partial Fzpartial y = 0 (pois Fz não depende de y)
  • partial Fypartial z = 0 (pois Fy não depende de z)
  • partial Fxpartial z = 0 (pois Fx não depende de z)
  • partial Fzpartial x = 5
  • partial Fypartial x = 0 (pois Fy não depende de x)
  • partial Fxpartial y = 38
Então, substituindo:
nabla times F = (0 - 0)i + (0 - 5)j + (0 - 38)k = -5 j - 38 k

Passo 4

Agora que temos o rotacional nabla times F = -5 j - 38 k, precisamos calcular a integral de superfície integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS.
Primeiro, vamos determinar a superfície S. Como C é um triângulo com vértices em (5,0,0), (0,5,0) e (0,0,6), podemos escolher S como esse triângulo no espaço tridimensional.
Para encontrar a normal n à superfície, podemos usar o produto vetorial dos vetores que formam os lados do triângulo.
Vamos considerar os vetores:
AB = (0-5, 5-0, 0-0) = (-5, 5, 0)
AC = (0-5, 0-0, 6-0) = (-5, 0, 6)
O produto vetorial AB times AC dará a normal à superfície:
AB times AC = i & j & k -5 & 5 & 0 -5 & 0 & 6 = (5 cdot 6 - 0 cdot 0)i - (-5 cdot 6 - 0 cdot (-5))j + (-5 cdot 0 - 5 cdot (-5))k = 30 i + 30 j + 25 k
A normal unitária n será:
n = 30 i + 30 j + 25 kraiz30^2 + 30^2 + 25^2 = 30 i + 30 j + 25 kraiz900 + 900 + 625 = 30 i + 30 j + 25 kraiz2425 = 30 i + 30 j + 25 k49.24
Para simplificar os cálculos, vamos considerar apenas a magnitude da normal, já que o rotacional nabla times F é constante.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = (nabla times F) cdot ( AB times AC|AB times AC| ) cdot Área(S) Á
Sabemos que nabla times F = -5 j - 38 k e AB times AC = 30 i + 30 j + 25 k.
Primeiro, calculamos o produto escalar:
(nabla times F) cdot (AB times AC) = (-5)(30) + (-38)(25) = -150 - 950 = -1100
Agora, a magnitude de AB times AC é 49.24, como vimos anteriormente. Então:
(nabla times F) cdot n = -110049.24 approx -22.34
Agora, precisamos encontrar a área do triângulo S. A área de um triângulo formado por dois vetores AB e AC é:
Área(S) = 12 |AB times AC| = 12 times 49.24 approx 24.62 Á
Então, a integral de superfície é:
-22.34 times 24.62 approx -550

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r vale aproximadamente -550.

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