Exame - Data: 11/12/2024
CDID001 - Cálculo Diferencial e Integral 1 - Turma PRO242-01U
Prof. Bruno Torêncio do Vale
Aluno: Danville souza gerhardt.
Instruções
  • A prova é individual e sem consulta. Pode ser feita a lápis.
  • Respostas sem justificativas não são consideradas. Devem ser utilizados conceitos vistos em aula.
  1. (1,5 ponto) Considere a função f(x)=-2 x^3-9 x^2+24 x+1.
    (b) Determine o(s) intervalo(s) em que a função é crescente e o(s) intervalo(s) em que ela é decrescente.

Passo 1

Temos a função f(x)=-2x^3-9x^2+24x+1 e queremos achar onde ela cresce e onde ela decresce, usando conceitos de derivada vistos em aula.

Passo 2

Para estudar onde f cresce ou decresce, primeiro calculamos a derivada f'(x), pois em geral: se f'(x)>0 então f é crescente naquele ponto, e se f'(x)<0 então f é decrescente. Derivando termo a termo:
f'(x)=ddx(-2x^3)-ddx(9x^2)+ddx(24x)+ddx(1)=-6x^2-18x+24

Passo 3

Agora identificamos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
-6x^2-18x+24=0 Longrightarrow x^2+3x-4=0
As raízes dessa equação são
x=-3pmraiz9+162=-3pm52,
isto é, x=1 e x=-4.

Passo 4

Fatoramos f'(x) para montar o quadro de sinais:
f'(x)=-6x^2-18x+24=-6(x^2+3x-4)=-6(x+4)(x-1)
Testando intervalos:
  • Para x<-4: (x+4)<0 e (x-1)<0 trazem f'(x)<0 → decrescente.
  • Para -4: (x+4)>0 e (x-1)<0 trazem f'(x)>0 → crescente.
  • Para x>1: (x+4)>0 e (x-1)>0 trazem f'(x)<0 → decrescente.

Passo 5

Com isso, determinamos os intervalos de monotonicidade da função.

Resposta

A função é crescente em (-4, 1) e decrescente em (-∞, -4) e (1, ∞).

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