1. Calcule a derivada direcional no ponto P0(3,4,5) da função w=x^2+y^2+z^2, na direção tangente à curva lx^2+y^2-z^2=0 2 x^2+2 y^2-z^2=25 no ponto P0.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de w(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 no ponto P0=(3,4,5), na direção tangente à curva que é a interseção das superfícies
f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2=0 e g(x,y,z)=2x^2+2y^2-z^2=25
O conteúdo envolvido é: vetor gradiente para derivada direcional e produto vetorial para obter a direção tangente.

Passo 2

A derivada direcional de w na direção de um vetor unitário u em P0 é
D uw = nabla w(P0) ,cdot, u
Portanto, primeiro calculamos nabla w(P0).

Passo 3

Temos
nabla w(x,y,z) = (2x,2y,2z),
logo em P0=(3,4,5)
nabla w(P0) = (6,8,10)

Passo 4

Os vetores normais às duas superfícies em P0 são
nabla f = (2x,2y,-2z), nabla g = (4x,4y,-2z)
Em P0 isso dá
nabla f(P0) = (6,8,-10), nabla g(P0) = (12,16,-10)
A direção tangente à curva é
v = nabla f(P0) times nabla g(P0) = (6,8,-10)times(12,16,-10) = (80,-60,0),
que é paralelo a (4,-3,0).

Passo 5

Normalizando v, obtemos o vetor unitário
|,(4,-3,0)| = 5, u = 15(4,-3,0)
Então a derivada direcional é
D uw = nabla w(P0)cdot u = (6,8,10)cdot 15(4,-3,0) = 24 - 24 + 05 = 0

Resposta

0

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