Derive as seguintes funções:
y=ln (1+x^t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que derivar a função y = ln(1 + x^t) . Isso faz parte do estudo de derivadas em cálculo, especificamente usando a regra da cadeia. Pra resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e entender como aplicar a regra da cadeia quando temos uma função dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função:
  • A função externa é o logaritmo natural, ln(u) , onde u = 1 + x^t .
  • A função interna é u = 1 + x^t .

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta y = f(g(x)) é y' = f'(g(x)) cdot g'(x) . Ou seja, a gente deriva a função de fora mantendo a interna igual e multiplica pela derivada da função interna.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia na nossa função:
  • Derivada da função externa ln(u) :
ddu ln(u) = 1u
  • Derivada da função interna u = 1 + x^t :
ddx (1 + x^t) = 0 + t x^t-1 = t x^t-1

Passo 5

Agora, juntando tudo usando a regra da cadeia:
dydx = 1u cdot dudx = 11 + x^t cdot t x^t-1

Passo 6

Simplificando a expressão final:
dydx = t x^t-11 + x^t

Resposta

A derivada de y = ln(1 + x^t) em relação a x é:
dydx = t x^t-11 + x^t

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