Considere a curva cuja equação é (2-x) y^2=x^3.
(a) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico da curva em (1,1).
(b) Obtenha as equações das retas tangentes ao gráfico da curva nos pontos em que x=3 / 2.

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
(2 - x),y^2 = x^3
e pede as retas tangentes: em primeiro lugar no ponto (1,1) e depois nos pontos em que x = tfrac32. Para isso, vamos usar derivação implícita para obter y' e, em seguida, montar as equações das retas no formato ponto-declive.

Passo 2

Derivando implicitamente (2 - x)y^2 = x^3 em relação a x, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
ddxl((2 - x)y^2r) = underbraceddx(2 - x)-1,y^2 + (2 - x),ddx(y^2) = -,y^2 + (2 - x),2y,y'
e
ddx(x^3) = 3x^2
Portanto,
-,y^2 + 2y,(2 - x),y' = 3x^2 Longrightarrow y' = 3x^2 + y^22y,(2 - x)

Passo 3

Para o ponto (1,1), substituímos x=1 e y=1 em
y' = 3x^2 + y^22y,(2 - x)
e obtemos
y'(1,1) = 3cdot1^2 + 1^22cdot1,(2 - 1) = 3 + 12 = 2
A reta tangente em (1,1) tem declive m=2 e passa por (1,1), logo
reta: y - 1 = 2,(x - 1)

Passo 4

Agora, para x = tfrac32, encontraremos primeiro os pontos da curva. Substituindo em (2 - x)y^2 = x^3:
l(2 - tfrac32r),y^2 = l(tfrac32r)^3 Longrightarrow tfrac12,y^2 = tfrac278 Longrightarrow y^2 = tfrac274
Logo
y = pm 3raiz32
Os pontos são l(tfrac32,tfrac3raiz32r) e l(tfrac32,-tfrac3raiz32r).

Passo 5

Em cada um desses pontos, avaliamos
y' = 3x^2 + y^22y,(2 - x)
com x = tfrac32 e y^2 = tfrac274. O numerador fica
3l(tfrac32r)^2 + tfrac274 = 3cdottfrac94 + tfrac274 = tfrac274 + tfrac274 = tfrac544 = tfrac272,
e o denominador é
2y,(2 - tfrac32) = 2ycdottfrac12 = y
Portanto
y' = tfrac272y = 272y
Para y = +tfrac3raiz32,
y' = 272cdot3raiz32 = 273raiz3 = 9/raiz3 = 3raiz3
Para y = -tfrac3raiz32, o mesmo cálculo dá
y' = -,3raiz3

Passo 6

As retas tangentes nos pontos l(tfrac32,pmtfrac3raiz32r) são, em forma ponto-declive y - y0 = m(x - x0):
Para l(tfrac32,tfrac3raiz32r) com m=3raiz3:
y - 3raiz32 = 3raiz3l(x - 32r)
Para l(tfrac32,-tfrac3raiz32r) com m=-3raiz3:
y + 3raiz32 = -,3raiz3l(x - 32r)

Resposta

(a) y - 1 = 2(x - 1).
(b)
y - 3raiz32 = 3raiz3l(x - 32r), y + 3raiz32 = -,3raiz3l(x - 32r)

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