) (Unicidade do elemento neutro da multiplicação). Se
para algum
então
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos mostrar a unicidade do elemento neutro da multiplicação em
. Ou seja, provar que se
para algum
, então necessariamente
. Vamos usar axiomas de corpo (existência de inverso e lei de cancelamento) e a associatividade da multiplicação.
Passo 2
Primeiro observe que, se
, então
vale para qualquer
, de modo que não podemos inferir nada sobre
. Por isso, para que a igualdade
force
, precisamos assumir
pois só aí existe inverso multiplicativo e vale a lei de cancelamento.
Passo 3
Como
, existe o inverso multiplicativo de
, que denotamos por
. Agora multiplicamos a equação
pelo inverso à esquerda, obtendo
Passo 4
Pela associatividade da multiplicação temos
e pelo axioma do inverso
Logo o lado direito
também é
, e concluímos