20^circ ) (Unicidade do elemento neutro da multiplicação). Se x y=x para algum x in R então y=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos mostrar a unicidade do elemento neutro da multiplicação em R. Ou seja, provar que se
xcdot y = x
para algum xinR, então necessariamente y=1. Vamos usar axiomas de corpo (existência de inverso e lei de cancelamento) e a associatividade da multiplicação.

Passo 2

Primeiro observe que, se x=0, então 0cdot y=0 vale para qualquer y, de modo que não podemos inferir nada sobre y. Por isso, para que a igualdade xcdot y = x force y=1, precisamos assumir
xneq 0,
pois só aí existe inverso multiplicativo e vale a lei de cancelamento.

Passo 3

Como xneq 0, existe o inverso multiplicativo de x, que denotamos por x^-1. Agora multiplicamos a equação
xcdot y = x
pelo inverso à esquerda, obtendo
x^-1cdotl(xcdot yr) ;=; x^-1cdot x

Passo 4

Pela associatividade da multiplicação temos
l(x^-1cdot xr)cdot y ;=; 1cdot y ;=; y,
e pelo axioma do inverso
x^-1cdot x = 1
Logo o lado direito x^-1cdot x também é 1, e concluímos
y = 1

Resposta

y=1

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