Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície dada, no ponto indicado:
(a) z = x^2 - y^2 ; P0(1, 1, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a superfície se comporta perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como muda quando a gente varia apenas ou apenas .
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Esses valores representam as inclinações da superfície nas direções de e no ponto .

Passo 4

Com as derivadas parciais, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar a reta normal, sabemos que ela é perpendicular ao plano tangente. O vetor normal ao plano tangente é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano. Nesse caso, o vetor normal é (o coeficiente de é 1, mas para a reta normal usamos os coeficientes originais antes da simplificação).
A equação paramétrica da reta normal que passa por é:
Onde é um parâmetro.

Resposta

  • Plano tangente:
  • Reta normal: onde é um parâmetro real.

Exercícios relacionados