Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície dada, no ponto indicado:
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a superfície se comporta perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como muda quando a gente varia apenas ou apenas .
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Esses valores representam as inclinações da superfície nas direções de e no ponto .
Passo 4
Com as derivadas parciais, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para encontrar a reta normal, sabemos que ela é perpendicular ao plano tangente. O vetor normal ao plano tangente é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano. Nesse caso, o vetor normal é (o coeficiente de é 1, mas para a reta normal usamos os coeficientes originais antes da simplificação).
A equação paramétrica da reta normal que passa por é: