A Necessidade de
: Por que a solução
é fisicamente incompleta? Teste-a para um oscilador que começa em
com velocidade
. O que acontece? Qual é a função do ângulo de fase
?
Passo 1
O enunciado pede: mostrar por que a solução
é fisicamente incompleta; testar essa forma para um oscilador com condição inicial
e velocidade inicial
; e explicar qual é a função do ângulo de fase
.
Informações dadas e claras: a solução proposta , as condições iniciais
e
(onde
), e que
é a frequência angular do oscilador. Não vou resolver nada ainda — só listei o que o problema pede e o que é dado.
Informações dadas e claras: a solução proposta
Passo 2
Por que a forma
pode ser insuficiente?
Um oscilador harmônico obedecendo à equação de movimento de segunda ordem precisa de duas constantes arbitrárias para determinar a solução completa (porque uma EDO de segunda ordem precisa de duas condições iniciais: posição e velocidade). A forma tem apenas uma constante livre,
. Vamos ver o que isso implica nas condições iniciais. Calcule a posição e a velocidade em
:
Um oscilador harmônico obedecendo à equação de movimento de segunda ordem precisa de duas constantes arbitrárias para determinar a solução completa (porque uma EDO de segunda ordem precisa de duas condições iniciais: posição e velocidade). A forma
Portanto, qualquer solução da forma
satisfaz obrigatoriamente
e
. Ou seja, essa forma só permite condições iniciais com velocidade zero. Isso já mostra que é fisicamente incompleta: não consegue representar casos com
.
Passo 3
Teste explícito para
e
arbitrário usando
. Impondo
obtemos
Com
a solução fica
, e então
. Isso contradiz a possibilidade de ter
. Conclusão: com a forma
não é possível representar um oscilador que começa em
com
— a única possibilidade é
.
Passo 4
Apresentando a solução completa: a forma geral (com duas constantes) pode ser escrita como combinação de cosseno e seno:
onde
e
são constantes determinadas por
e
. Essa expressão tem duas constantes, então é capaz de atender a qualquer par de condições iniciais. Outra forma equivalente, muito usada, é a forma amplitude-fase:
Vou mostrar como relacionar
e
com
e
. Avaliando em
:
Essas duas equações relacionam
e
às condições iniciais
e
. Eliminando
pela soma dos quadrados,
logo
Para
podemos usar as relações trigonométricas:
e portanto
onde
dá o ângulo correto considerando o quadrante (isto é importante para determinar
sem ambiguidade).
Passo 5
Aplicação específica ao caso pedido
. Substitua
nas fórmulas:
e
Portanto
dependendo do sinal de
. Substituindo na solução em amplitude-fase, por exemplo para
obtemos
que é a forma esperada para um oscilador que parte do equilíbrio com velocidade inicial positiva. Para
surge o sinal apropriado (seno com coeficiente negativo), igualmente consistente.
Passo 6
Interpretação física do ângulo de fase
:
-
representa o deslocamento da fase (ou um deslocamento no tempo) do movimento harmônico — geometricamente é o ângulo inicial de um vetor rotante cuja projeção dá . - Junto com
, codifica as duas condições iniciais (posição e velocidade). Sem você tem apenas um parâmetro livre e não consegue ajustar ambos e . - Em termos práticos na prova: sempre use a forma
(ou ) quando tiver que aplicar condições iniciais arbitrárias — aí dá pra resolver sistematicamente e como fizemos.