A Necessidade de \varphi : Por que a solução x(t)=A \cos (\omega t) é fisicamente incompleta? Teste-a para um oscilador que começa em x_{0}=0 com velocidade v_{0}. O que acontece? Qual é a função do ângulo de fase \varphi ?

Passo 1

O enunciado pede: mostrar por que a solução x(t)=A\cos(\omega t) é fisicamente incompleta; testar essa forma para um oscilador com condição inicial x(0)=x_{0}=0 e velocidade inicial v(0)=v_{0}; e explicar qual é a função do ângulo de fase \varphi.
Informações dadas e claras: a solução proposta x(t)=A\cos(\omega t), as condições iniciais x(0)=x_{0}=0 e v(0)=v_{0} (onde v(t)=\dot x(t)), e que \omega é a frequência angular do oscilador. Não vou resolver nada ainda — só listei o que o problema pede e o que é dado.

Passo 2

Por que a forma x(t)=A\cos(\omega t) pode ser insuficiente?
Um oscilador harmônico obedecendo à equação de movimento de segunda ordem precisa de duas constantes arbitrárias para determinar a solução completa (porque uma EDO de segunda ordem precisa de duas condições iniciais: posição e velocidade). A forma x(t)=A\cos(\omega t) tem apenas uma constante livre, A. Vamos ver o que isso implica nas condições iniciais. Calcule a posição e a velocidade em t=0:
x(0)=A\cos(0)=A,
v(t)=\dot x(t)=-A\omega\sin(\omega t)\quad\Rightarrow\quad v(0)=-A\omega\sin(0)=0.
Portanto, qualquer solução da forma x(t)=A\cos(\omega t) satisfaz obrigatoriamente x(0)=A e v(0)=0. Ou seja, essa forma só permite condições iniciais com velocidade zero. Isso já mostra que é fisicamente incompleta: não consegue representar casos com v(0)\neq0.

Passo 3

Teste explícito para x_{0}=0 e v_{0} arbitrário usando x(t)=A\cos(\omega t). Impondo x(0)=0 obtemos
x(0)=A=0.
Com A=0 a solução fica x(t)\equiv0, e então v(0)=0. Isso contradiz a possibilidade de ter v_{0}\neq0. Conclusão: com a forma x(t)=A\cos(\omega t) não é possível representar um oscilador que começa em x_{0}=0 com v_{0}\neq0 — a única possibilidade é v_{0}=0.

Passo 4

Apresentando a solução completa: a forma geral (com duas constantes) pode ser escrita como combinação de cosseno e seno:
x(t)=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t),
onde C e D são constantes determinadas por x_{0} e v_{0}. Essa expressão tem duas constantes, então é capaz de atender a qualquer par de condições iniciais. Outra forma equivalente, muito usada, é a forma amplitude-fase:
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi).
Vou mostrar como relacionar A e \varphi com x_{0} e v_{0}. Avaliando em t=0:
x(0)=A\cos\varphi = x_{0},
v(t)=\dot x(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\quad\Rightarrow\quad v(0)=-A\omega\sin\varphi = v_{0}.
Essas duas equações relacionam A e \varphi às condições iniciais x_{0} e v_{0}. Eliminando \varphi pela soma dos quadrados,
A^{2}\cos^{2}\varphi + A^{2}\sin^{2}\varphi = x_{0}^{2} + \left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2},
logo
A=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}.
Para \varphi podemos usar as relações trigonométricas:
\cos\varphi=\frac{x_{0}}{A},\qquad \sin\varphi=-\frac{v_{0}}{A\omega},
e portanto
\varphi=\operatorname{atan2}\!\left(-\dfrac{v_{0}}{\omega},\,x_{0}\right),
onde \operatorname{atan2}(y,x) dá o ângulo correto considerando o quadrante (isto é importante para determinar \varphi sem ambiguidade).

Passo 5

Aplicação específica ao caso pedido x_{0}=0. Substitua x_{0}=0 nas fórmulas:
A=\sqrt{0^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}=\frac{|v_{0}|}{\omega},
e
\cos\varphi=0,\qquad \sin\varphi=-\frac{v_{0}}{A\omega}=-\frac{v_{0}}{(|v_{0}|)}=-\operatorname{sgn}(v_{0}).
Portanto \varphi=\mp\frac{\pi}{2} dependendo do sinal de v_{0}. Substituindo na solução em amplitude-fase, por exemplo para v_{0}>0 obtemos
x(t)=\frac{v_{0}}{\omega}\cos\!\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{v_{0}}{\omega}\sin(\omega t),
que é a forma esperada para um oscilador que parte do equilíbrio com velocidade inicial positiva. Para v_{0}<0 surge o sinal apropriado (seno com coeficiente negativo), igualmente consistente.

Passo 6

Interpretação física do ângulo de fase \varphi:
  • \varphi representa o deslocamento da fase (ou um deslocamento no tempo) do movimento harmônico — geometricamente é o ângulo inicial de um vetor rotante cuja projeção dá x(t).
  • Junto com A, \varphi codifica as duas condições iniciais (posição e velocidade). Sem \varphi você tem apenas um parâmetro livre e não consegue ajustar ambos x(0) e v(0).
  • Em termos práticos na prova: sempre use a forma x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) (ou x=C\cos\omega t + D\sin\omega t) quando tiver que aplicar condições iniciais arbitrárias — aí dá pra resolver sistematicamente A e \varphi como fizemos.

Resposta

x(t)=A\cos(\omega t) é fisicamente incompleta porque tem apenas uma constante livre A e portanto só pode representar movimentos com v(0)=0; não consegue satisfazer condições iniciais com v_{0}\neq0.\nPara x_{0}=0 e velocidade v_{0} a forma x(t)=A\cos(\omega t) força A=0 (logo v_{0}=0), o que é impossível se v_{0}\neq0. A solução correta é x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) com\n A=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\dfrac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}} e \varphi=\operatorname{atan2}\!\left(-\dfrac{v_{0}}{\omega},\,x_{0}\right).\nNo caso x_{0}=0 isso dá A=\dfrac{|v_{0}|}{\omega} e x(t)=\dfrac{v_{0}}{\omega}\sin(\omega t) (com o sinal apropriado dependendo de v_{0}).\nA função do ângulo de fase \varphi é ajustar a fase inicial (ou deslocamento temporal) do movimento de modo a satisfazer simultaneamente x(0) e v(0).

Exercícios relacionados