Para provar que
é uma solução válida, devemos mostrar que ela “obedece” à equação diferencial.
Verificando a Solução: (a) Calcule a primeira e a segunda derivada de
para encontrar
e
.
(b) Mostre que sua expressão para
pode ser escrita como
.
Verificando a Solução: (a) Calcule a primeira e a segunda derivada de
(b) Mostre que sua expressão para
Passo 1
O enunciado dá a função posição
e pede duas coisas: (a) calcular a primeira e a segunda derivada de
, isto é,
e
; (b) mostrar que a expressão encontrada para
pode ser escrita como
. Informação importante:
,
e
são constantes e
é a variável independente.
Passo 2
Revisando as regras de diferenciação que vamos usar (aquelas que costumam cair em prova):
- Regra do fator constante: se
é constante e é função, então . - Regra da cadeia: se
então . Aqui aplicaremos com ou e . - Derivadas básicas:
e .
Aplicando essas regras passo a passo dá pra resolver sem mistério.
Passo 3
Calcule a primeira derivada
. Defina
. Então
.
Usando regra do fator constante e regra da cadeia:
Usando regra do fator constante e regra da cadeia:
Como
(porque
e
são constantes), obtemos
Passo 4
Agora calcule a segunda derivada
. Partimos de
. Novamente fator constante e regra da cadeia:
Multiplicando os fatores
obtemos
Passo 5
Relacione
com
. Observe que
. Então
Isso mostra exatamente o que se pedia: a segunda derivada é
vezes a função original. Em termos de equação diferencial,
, ou seja,
é solução da equação do oscilador harmônico simples.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se
, então
e
. Note que
, coerente com a fórmula geral.