Para provar que x(t)=A \cos (\omega t+\varphi) é uma solução válida, devemos mostrar que ela “obedece” à equação diferencial.
Verificando a Solução: (a) Calcule a primeira e a segunda derivada de x(t) para encontrar v(t) e a(t).
(b) Mostre que sua expressão para a(t) pode ser escrita como a(t)=-\omega^{2} x(t).

Passo 1

O enunciado dá a função posição
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)
e pede duas coisas: (a) calcular a primeira e a segunda derivada de x(t), isto é, v(t)=x'(t) e a(t)=x''(t); (b) mostrar que a expressão encontrada para a(t) pode ser escrita como a(t)=-\omega^{2}x(t). Informação importante: A, \omega e \varphi são constantes e t é a variável independente.

Passo 2

Revisando as regras de diferenciação que vamos usar (aquelas que costumam cair em prova):
  • Regra do fator constante: se c é constante e f(t) é função, então \dfrac{d}{dt}\big(c\cdot f(t)\big)=c\cdot f'(t).
  • Regra da cadeia: se f(t)=g(u(t)) então f'(t)=g'(u(t))\cdot u'(t). Aqui aplicaremos com g=\cos ou g=\sin e u(t)=\omega t+\varphi.
  • Derivadas básicas: \dfrac{d}{du}\cos u=-\sin u e \dfrac{d}{du}\sin u=\cos u.
    Aplicando essas regras passo a passo dá pra resolver sem mistério.

Passo 3

Calcule a primeira derivada v(t)=x'(t). Defina u(t)=\omega t+\varphi. Então x(t)=A\cos(u(t)).
Usando regra do fator constante e regra da cadeia:
x'(t)=A\cdot \frac{d}{dt}\big(\cos(u(t))\big)=A\cdot\big(-\sin(u(t))\big)\cdot u'(t).
Como u'(t)=\dfrac{d}{dt}(\omega t+\varphi)=\omega (porque \omega e \varphi são constantes), obtemos
v(t)=x'(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).

Passo 4

Agora calcule a segunda derivada a(t)=x''(t)=v'(t). Partimos de v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi). Novamente fator constante e regra da cadeia:
v'(t)=-A\omega\cdot\frac{d}{dt}\big(\sin(\omega t+\varphi)\big)=-A\omega\cdot\cos(\omega t+\varphi)\cdot(\omega).
Multiplicando os fatores \omega obtemos
a(t)=x''(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).

Passo 5

Relacione a(t) com x(t). Observe que x(t)=A\cos(\omega t+\varphi). Então
a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi)=-\omega^{2}\big(A\cos(\omega t+\varphi)\big)=-\omega^{2}x(t).
Isso mostra exatamente o que se pedia: a segunda derivada é -\omega^{2} vezes a função original. Em termos de equação diferencial, x''(t)+\omega^{2}x(t)=0, ou seja, x(t) é solução da equação do oscilador harmônico simples.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se x(t)=5\cos(2t+\tfrac{\pi}{4}), então v(t)=-5\cdot 2\sin(2t+\tfrac{\pi}{4})=-10\sin(2t+\tfrac{\pi}{4}) e a(t)=-5\cdot 2^{2}\cos(2t+\tfrac{\pi}{4})=-20\cos(2t+\tfrac{\pi}{4}). Note que a(t)=-2^{2}x(t)=-4x(t), coerente com a fórmula geral.

Resposta

v(t)=x'(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)
a(t)=x''(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi)
a(t)=-\omega^{2}x(t)

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