Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
f(x)=x \sin \left(\sqrt{x^{5}}-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x\sin\bigl(\sqrt{x^5}-x^2\bigr)
Aqui vamos usar duas ferramentas principais:
– a regra do produto, para derivar x vezes outra função,
– a regra da cadeia, para derivar \sin(u(x)).

Passo 2

Aplicando a regra do produto, temos
f'(x)=\bigl(x\bigr)'\,\sin\bigl(u(x)\bigr) + x\;\bigl(\sin(u(x))\bigr)'
onde definimos u(x)=\sqrt{x^5}-x^2. Como \bigl(x\bigr)'=1, fica
f'(x)=\sin\bigl(u(x)\bigr) + x\;\bigl(\sin(u(x))\bigr)'.

Passo 3

Para derivar \sin(u(x)) usamos a regra da cadeia:
\bigl(\sin(u(x))\bigr)'=\cos\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Agora faltam apenas u'(x).

Passo 4

Calcular u'(x) com u(x)=\sqrt{x^5}-x^2 = x^{5/2}-x^2:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{5/2}\bigr) =\frac{5}{2}\,x^{3/2}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(x^2\bigr) =2x.
Logo
u'(x)=\frac{5}{2}\,x^{3/2}-2x.

Passo 5

Substituindo em f'(x):
f'(x) =\sin\bigl(x^{5/2}-x^2\bigr) + x\;\cos\bigl(x^{5/2}-x^2\bigr) \Bigl(\tfrac{5}{2}\,x^{3/2}-2x\Bigr).

Resposta

f'(x) =\sin\bigl(x^{5/2}-x^2\bigr) + x\cos\bigl(x^{5/2}-x^2\bigr) \Bigl(\tfrac{5}{2}x^{3/2}-2x\Bigr).

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