A curva trifolium (curva trevo de três folhas, curva rosa de três pétalas) é descrita pela equação
x^{4}+2 x^{2} y^{2}+y^{4}-x^{3}+3 x y^{2}=0
Verifique que o ponto (1,1) pertence à curva trifolium e determine uma equação da reta tangente à curva neste ponto.

Passo 1

O enunciado apresenta a curva trifolium dada implicitamente por
F(x,y)=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0
e pede para verificar que o ponto (1,1) pertence a ela e, em seguida, determinar a reta tangente nesse ponto. Para checar a pertença, basta substituir x=1 e y=1 em F. Se de fato F(1,1)=0, então o ponto está na curva e podemos usar diferenciação implícita para achar a inclinação da tangente.

Passo 2

Substituindo (x,y)=(1,1) em F obtemos
F(1,1)=1^{4}+2\cdot1^{2}\cdot1^{2}+1^{4}-1^{3}+3\cdot1\cdot1^{2} =1+2+1-1+3=6\neq0.

Passo 3

Como F(1,1)=6 em vez de zero, concluímos que o ponto (1,1) não satisfaz a equação da curva trifolium fornecida. Logo, (1,1) não pertence à curva e não faz sentido falar em reta tangente a um ponto que não está sobre a curva.

Resposta

O ponto (1,1) não pertence à curva x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0, pois F(1,1)=6\neq0. Portanto, não é possível determinar reta tangente neste ponto.

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