Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\frac{4 x-x^{4}}{\left(x^{3}+2\right)^{100}}\'

Passo 1

Temos a função
f(x)=\frac{4x - x^{4}}{\bigl(x^{3}+2\bigr)^{100}}
e queremos f'(x). O conteúdo envolvido é a derivada de um quociente, que podemos tratar reescrevendo como produto e usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
f(x) = \bigl(4x - x^{4}\bigr)\,\bigl(x^{3}+2\bigr)^{-100}.
Assim aplicamos a regra do produto, onde u(x)=4x - x^{4} e v(x)=(x^{3}+2)^{-100}.

Passo 3

Calculamos u'(x) e v'(x):
u'(x) = 4 - 4x^{3},
v'(x) = -100\,(x^{3}+2)^{-101}\cdot 3x^{2} = -300x^{2}\,(x^{3}+2)^{-101}.
Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 4

Substituindo,
f'(x) = \bigl(4 - 4x^{3}\bigr)\,(x^{3}+2)^{-100} + (4x - x^{4})\,\bigl(-300x^{2}\bigr)\,(x^{3}+2)^{-101}.
Colocando sobre o mesmo denominador (x^{3}+2)^{101} e simplificando o numerador, chega-se a
f'(x) = \frac{296x^{6} - 1204x^{3} + 8}{(x^{3}+2)^{101}}.

Resposta

f'(x)=\frac{296x^{6} - 1204x^{3} + 8}{\bigl(x^{3}+2\bigr)^{101}}.

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