Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\frac{x^{2} \tan \left(x^{3}-x^{2}\right)}{\operatorname{sec} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}\,\tan\bigl(x^{3}-x^{2}\bigr)}{\operatorname{sec} x}.
Aqui vamos usar as regras de derivação: identidade trigonométrica, produto, cadeia e derivada de funções trigonométricas.

Passo 2

Usamos \operatorname{sec} x=1/\cos x para reescrever
f(x)=x^{2}\,\tan\bigl(x^{3}-x^{2}\bigr)\,\cos x.

Passo 3

Definimos
h(x)=x^{2}\,\tan\bigl(u(x)\bigr), \quad u(x)=x^{3}-x^{2},
de modo que
f(x)=h(x)\,\cos x.
Pela regra do produto,
f'(x)=h'(x)\,\cos x\;+\;h(x)\,\bigl(-\sin x\bigr).

Passo 4

Agora calculamos h'(x). Como
h(x)=a(x)\,b(x), \quad a(x)=x^{2}, \quad b(x)=\tan\bigl(u(x)\bigr),
temos
a'(x)=2x, \quad b'(x)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x), \quad u'(x)=3x^{2}-2x.
Logo
h'(x)=a'(x)\,b(x)+a(x)\,b'(x) =2x\,\tan\bigl(u(x)\bigr) + x^{2}\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x)\bigr)\,(3x^{2}-2x).

Passo 5

Substituindo h(x) e h'(x) em f'(x), obtemos
f'(x)=\Bigl[2x\,\tan\bigl(x^{3}-x^{2}\bigr) + x^{2}\,\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}-x^{2}\bigr)\,(3x^{2}-2x)\Bigr]\cos x - x^{2}\,\tan\bigl(x^{3}-x^{2}\bigr)\,\sin x.

Resposta

f'(x)=\Bigl(2x\,\tan\!(x^{3}-x^{2}) + x^{2}\,\operatorname{sec}^{2}\!(x^{3}-x^{2})\,(3x^{2}-2x)\Bigr)\cos x - x^{2}\,\tan\!(x^{3}-x^{2})\,\sin x.

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