Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\frac{1}{\sin (x-\sin x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1}{\sin\bigl(x-\sin x\bigr)}.
O que vamos usar é a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas.

Passo 2

Defina
u = x - \sin x.
Então
f(x) = \frac{1}{\sin u} = (\sin u)^{-1}.
Pela regra da cadeia,
f'(x) = -(\sin u)^{-2}\,\frac{d}{dx}\bigl(\sin u\bigr).

Passo 3

Agora,
\frac{d}{dx}\bigl(\sin u\bigr) = \cos u \cdot \frac{du}{dx},
e
\frac{du}{dx} = 1 - \cos x.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl(\sin u\bigr) = \cos u\,(1 - \cos x).

Passo 4

Substituindo em f'(x) e voltando para x (lembre que u = x - \sin x), fica
f'(x) = -(\sin u)^{-2}\,\bigl[\cos u\,(1-\cos x)\bigr] = -\frac{\cos(x-\sin x)\,\bigl(1-\cos x\bigr)}{[\sin(x-\sin x)]^{2}}.

Resposta

f'(x) = -\frac{\cos\bigl(x-\sin x\bigr)\,\bigl(1-\cos x\bigr)}{\sin^{2}\!\bigl(x-\sin x\bigr)}.

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