Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
f(x)=x^{2} \arctan x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{2}\,\arctan x
Aqui vamos usar a regra do produto para derivadas e lembrar que
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr)=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 2

Definimos as duas funções que compõem o produto:
u(x)=x^{2} \quad\text{e}\quad v(x)=\arctan x.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada uma:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x,
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr)=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 5

Substituindo os valores:
f'(x)=2x\cdot\arctan x + x^{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}.
Para simplificar o segundo termo, observe que
x^{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}.

Resposta

f'(x)=2x\,\arctan x + \frac{x^{2}}{1+x^{2}}.

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