Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\cos (\arctan x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\cos(\arctan x). Vamos usar a regra da cadeia para derivar a composição de funções e depois usar uma identidade trigonométrica para simplificar o resultado.

Passo 2

Pela regra da cadeia,
f'(x) = -\sin\bigl(\arctan x\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl[\arctan x\bigr] = -\sin\bigl(\arctan x\bigr)\,\frac{1}{1+x^2}.

Passo 3

Defina \theta=\arctan x. Nesse caso \tan\theta = x, o que leva ao triângulo retângulo com catetos x e 1 e hipotenusa \sqrt{1+x^2}. Assim
\sin\theta = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.
Substituindo em f'(x),
f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot\frac{1}{1+x^2} = -\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}.

Resposta

f'(x) = -\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}.

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