Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
(k) f(x)=\frac{(x+\lambda)^{4}}{x^{4}+\lambda^{4}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{(x+\lambda)^{4}}{x^{4}+\lambda^{4}}.
O conteúdo utilizado será a regra do quociente no cálculo de derivadas, que diz que, para
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
temos
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 2

Definimos
u(x)=(x+\lambda)^4 \quad\text{e}\quad v(x)=x^4+\lambda^4.
Calculamos as derivadas:
u'(x)=4(x+\lambda)^3,\quad v'(x)=4x^3.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{4(x+\lambda)^3\,(x^4+\lambda^4)\;-\;(x+\lambda)^4\,\cdot4x^3}{\bigl(x^4+\lambda^4\bigr)^2}.

Passo 4

No numerador, fatoramos 4(x+\lambda)^3:
4(x+\lambda)^3\Bigl[(x^4+\lambda^4)-x^3(x+\lambda)\Bigr] =4(x+\lambda)^3\bigl[x^4+\lambda^4-x^4-x^3\lambda\bigr] =4(x+\lambda)^3\bigl(\lambda^4-x^3\lambda\bigr).
Isto é
4\lambda\,(x+\lambda)^3\,(\lambda^3-x^3).

Passo 5

Portanto a forma simplificada é
f'(x) =\frac{4\lambda\,(x+\lambda)^3\,(\lambda^3 - x^3)}{\bigl(x^4+\lambda^4\bigr)^2}.

Resposta

f'(x) =\frac{4\lambda\,(x+\lambda)^3\,(\lambda^3 - x^3)}{(x^4+\lambda^4)^2}.

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