Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
(b) f(x)=\frac{\left(2 x^{3}+1\right)^{32}}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{\bigl(2x^{3}+1\bigr)^{32}}{x+2}\,.
Aqui vamos usar a regra do quociente para derivadas e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar (2x^{3}+1)^{32}.

Passo 2

Definimos
u(x)=\bigl(2x^{3}+1\bigr)^{32}, \quad v(x)=x+2.
Assim, f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u usando regra da cadeia. Primeiro derivada externa:
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}+1\bigr)^{32} =32\bigl(2x^{3}+1\bigr)^{31}\cdot\frac{d}{dx}(2x^{3}+1).
E como \frac{d}{dx}(2x^{3}+1)=6x^{2}, obtemos
u'(x)=192\,x^{2}\,\bigl(2x^{3}+1\bigr)^{31}.

Passo 4

A derivada de v é imediata, pois
v'(x)=\frac{d}{dx}(x+2)=1.

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{192x^{2}\,(2x^{3}+1)^{31}(x+2)-(2x^{3}+1)^{32}}{(x+2)^{2}}.

Passo 6

Para simplificar, fatoramos (2x^{3}+1)^{31} do numerador:
192x^{2}(x+2)-(2x^{3}+1) =192x^{3}+384x^{2}-2x^{3}-1 =190x^{3}+384x^{2}-1.
Logo,
f'(x) =\frac{(2x^{3}+1)^{31}\,\bigl(190x^{3}+384x^{2}-1\bigr)}{(x+2)^{2}}.

Resposta

f'(x) =\frac{(2x^{3}+1)^{31}\,\bigl(190x^{3}+384x^{2}-1\bigr)}{(x+2)^{2}}.

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