Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
(f) f(x)=\sqrt[6]{x \tan ^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\sqrt[6]{x\tan^2 x}. Para isso vamos usar a regra da cadeia em conjunto com a regra do produto e a derivada de \tan x, que é \operatorname{sec}^2 x.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=x\tan^2 x.
Aplicando a regra do produto, obtemos
u'(x)=(x)'\,\tan^2 x + x\,(\tan^2 x)' = \tan^2 x + x\cdot 2\tan x\operatorname{sec}^2 x.

Passo 3

A função original fica
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{1/6}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{1}{6}\,\bigl(u(x)\bigr)^{\tfrac{1}{6}-1}\;u'(x).

Passo 4

Como \tfrac{1}{6}-1=-\tfrac{5}{6}, temos
f'(x)=\frac{u'(x)}{6\,\bigl(u(x)\bigr)^{5/6}}.
Substituindo u(x) e u'(x),
f'(x)=\frac{\tan^2 x + 2x\tan x\operatorname{sec}^2 x}{6\,(x\tan^2 x)^{5/6}}.

Resposta

f'(x)=\frac{\tan^2 x + 2x\tan x\operatorname{sec}^2 x}{6\,(x\tan^2 x)^{5/6}}.

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