Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
(ix) f(x)=2^{x^{2}}+3^{2^{x}}

Passo 1

Resumindo: queremos \displaystyle f(x)=2^{x^2}+3^{2^x}. O conteúdo é derivada de exponenciais e funções compostas. Vamos usar a regra da cadeia e a fórmula
\frac{d}{dx}a^{u(x)} = a^{u(x)}\,\ln(a)\,u'(x).

Passo 2

Considere o primeiro termo f_1(x)=2^{x^2}. Aqui u(x)=x^2, então u'(x)=2x. Aplicando a fórmula:
f_1'(x)=2^{x^2}\,\ln(2)\,\bigl(2x\bigr) =2^{x^2}\,2x\ln(2).

Passo 3

Agora o segundo termo f_2(x)=3^{2^x}. Defina u(x)=2^x e note que u'(x)=2^x\ln(2). A parte externa é 3^u, cuja derivada é 3^u\ln(3). Logo, pela cadeia:
f_2'(x) =3^{2^x}\,\ln(3)\,\bigl(2^x\ln(2)\bigr) =3^{2^x}\,2^x\ln(2)\ln(3).

Passo 4

Basta somar as derivadas parciais:
f'(x) =f_1'(x)+f_2'(x) =2^{x^2}\,2x\ln(2) +3^{2^x}\,2^x\ln(2)\ln(3).

Resposta

f'(x)=2^{x^2}\,2x\ln(2)+3^{2^x}\,2^x\ln(2)\ln(3).

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