Desejamos montar uma caixa de papelão com tampa, com formato de um bloco retangular, utilizando 24 cm^2 de material. Esta caixa deve ter base quadrada. Quais as dimensões da caixa para que ela tenha volume máximo?

Passo 1

O problema pede que a gente faça uma caixa fechada com base quadrada usando 24,cm^2 de material (isso inclui a tampa). Queremos escolher a aresta da base e a altura de modo a ter volume máximo. O conteúdo é otimização de função com restrição, mas aqui a gente vai eliminar a restrição substituindo a altura em função da base e depois derivar o volume.

Passo 2

Seja x a aresta da base (em cm) e h a altura (em cm). A área total de material é a soma de duas bases (fundo e tampa ) mais quatro faces laterais, ou seja
2x^2 + 4x,h = 24
Dessa equação a gente resolve h:
h = 24 - 2x^24x = 244x - 2x^24x = 6x - x2

Passo 3

O volume da caixa é
V = x^2,h
Substituindo h em função de x,
V(x) = x^2l(6x - x2r) = 6x - x^32
Agora temos V como função só de x.

Passo 4

Para achar o ponto crítico, derivamos V(x) em relação a x e igualamos a zero:
V'(x) = 6 - 32x^2, 6 - 32x^2 = 0 ;Longrightarrow; x^2 = 4 ;Longrightarrow; x = 2 cm
(a solução negativa não faz sentido para comprimento).

Passo 5

Com x=2,cm, a altura fica
h = 62 - 22 = 3 - 1 = 2 cm
Além disso,
V''(x) = -3x,
que em x=2 é negativo, confirmando que é máximo.

Resposta

A caixa de volume máximo tem base quadrada de 2,cm por 2,cm e altura de 2,cm.

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