Desejamos montar uma caixa de papelão com tampa, com formato de um bloco retangular, utilizando
de material. Esta caixa deve ter base quadrada. Quais as dimensões da caixa para que ela tenha volume máximo?
Passo 1
O problema pede que a gente faça uma caixa fechada com base quadrada usando
de material (isso inclui a tampa). Queremos escolher a aresta da base e a altura de modo a ter volume máximo. O conteúdo é otimização de função com restrição, mas aqui a gente vai eliminar a restrição substituindo a altura em função da base e depois derivar o volume.
Passo 2
Seja
a aresta da base (em cm) e
a altura (em cm). A área total de material é a soma de duas bases
fundo e tampa
mais quatro faces laterais, ou seja
Dessa equação a gente resolve
:
Passo 3
O volume da caixa é
Substituindo
em função de
,
Agora temos
como função só de
.
Passo 4
Para achar o ponto crítico, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
(a solução negativa não faz sentido para comprimento).
Passo 5
Com
, a altura fica
Além disso,
que em
é negativo, confirmando que é máximo.
Resposta
A caixa de volume máximo tem base quadrada de
por
e altura de
.