Calcule a derivada ( f^prime(x) ) das funções abaixo:
f(x)=raiz[5]x^2-x2 x-1,

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raiz[5]x^2 - x2x - 1
Para resolver, vamos usar a regra da cadeia (para potência fracionária) e a regra do quociente (para derivar o argumento interno).

Passo 2

Defina
u(x)=x^2 - x2x - 1,
de modo que
f(x)=u(x)^1/5
Pela regra da cadeia,
f'(x)=15,u(x)^-4/5,u'(x)

Passo 3

Calculemos u'(x) usando a regra do quociente:
u'(x) =(2x-1),d(x^2 - x)-(x^2 - x),d(2x-1)(2x-1)^2 =(2x-1)(2x-1)-2(x^2 - x)(2x-1)^2 =2x^2-2x+1(2x-1)^2

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =15l(x^2 - x2x - 1r)^-4/5 cdot2x^2-2x+1(2x-1)^2

Passo 5

Para simplificar, note que
l(x^2 - x2x - 1r)^-4/5 =(2x-1)^4/5(x^2 - x)^4/5
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f'(x) =15,(2x-1)^4/5(x^2 - x)^4/5 cdot2x^2-2x+1(2x-1)^2 =2x^2-2x+15,(2x-1)^6/5,(x^2 - x)^4/5

Resposta

f'(x)=2x^2-2x+15,(2x-1)^6/5,(x^2 - x)^4/5

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