Calcule a derivada f^prime(x) das funções:
f(x)=sen^2(1-x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=sin^2l(1 - x^2r). O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia para funções compostas, pois temos uma potência aplicada ao seno de uma função interna.

Passo 2

Definimos
u(x)=sinl(1 - x^2r)
de modo que
f(x)=[u(x)]^2
Para derivar uma função do tipo f(x)=[u(x)]^2, usamos
f'(x)=2,u(x),u'(x)

Passo 3

Agora derivamos
u(x)=sinl(1 - x^2r)
Aplicando de novo a regra da cadeia, a derivada do seno é o cosseno vezes a derivada do argumento:
u'(x) =cosl(1 - x^2r),ddx(1 - x^2) =cosl(1 - x^2r),(-2x)

Passo 4

Substituindo em f'(x)=2,u(x),u'(x), obtemos
f'(x) =2;sinl(1 - x^2r);l[cosl(1 - x^2r)(-2x)r] =-4x,sinl(1 - x^2r),cosl(1 - x^2r)

Passo 5

Para simplificar, usamos a identidade trigonométrica
2sin acos a = sin(2a)
Tomando a=1 - x^2, fica
f'(x) =-4x,sinl(1 - x^2r),cosl(1 - x^2r) =-2x,sinl(2(1 - x^2)r)

Resposta

f'(x)=-4x,sinl(1 - x^2r),cosl(1 - x^2r)
ou, de forma equivalente,
f'(x)=-2x,sinl(2(1 - x^2)r).

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