Questão 8.1)

Encontre o valor de b para que y=e^-9 t, seja uma solução da edo y^prime prime+(b+5) y^prime+18 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de b de modo que a função y=e^-9t seja solução da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y'' + (b+5),y' + 18,y = 0
Vamos usar a técnica de substituição direta: calcular y' e y'' e impor que a expressão acima seja nula.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y=e^-9t:
y' = ddtl(e^-9tr) = -9,e^-9t, y'' = ddtl(-9,e^-9tr) = 81,e^-9t

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na equação diferencial:
81,e^-9t ;+;(b+5),(-9,e^-9t);+;18,e^-9t;=;0
Como e^-9t nunca é zero, podemos dividir tudo por e^-9t.

Passo 4

Após dividir, obtemos a equação em b:
81 ;-;9,(b+5);+;18 ;=;0
Desenvolvendo,
81 -9b -45 +18 = 0 Longrightarrow 54 -9b = 0 Longrightarrow b = 6

Resposta

b = 6

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